マクスウェル方程式の入口
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1導入
この講義では、マクスウェル方程式を「難しい 4 本の式」としてではなく、電場と磁場の 2 つの性質を書いたものとして解説する。
その 2 つとは、
- 面をどれだけ貫くか、すなわち流束。
- 閉曲線に沿ってどれだけ巡るか、すなわち循環。
である。電場と磁場について、この流束と循環を書くと、電磁気の基本法則が 4 本にまとまる。
2用語と定義
マクスウェル方程式とは、電場 \vec E と磁場 \vec B が、電荷、電流、時間変化とどう結びつくかを表す方程式である。
ここでは真空中の積分形を使う。
\boxed{\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}}
\boxed{\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0}
\boxed{\oint_C\vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S}
\boxed{\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S\vec E\cdot d\vec S}
ここで C は面 S の境界である。
3方針
4 本は、暗記ではなく問いで分ける。
- 電場の流束は、電荷で決まる。
- 磁場の流束は、閉曲面で合計すると 0 になる。
- 電場の循環は、磁束の時間変化で決まる。
- 磁場の循環は、電流と電束の時間変化で決まる。
4法則 1：1 本目はガウスの法則である
マクスウェル方程式の
\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}
は、電場についてのガウスの法則である。
4.1証明
ガウスの法則では、閉曲面 S を貫く電束が、その内側の電荷 Q_{\mathrm{in}} により
\int_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}
で与えられると述べた。マクスウェル方程式の 1 本目はこれと同じ式である。したがって 1 本目はガウスの法則である。
5整理 2：2 本目は磁荷がないことを表す
\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0
は、磁場の線が閉曲面の中で始まったり終わったりしないことを表す。
5.1証明
電場では、正電荷から電場の線が出て、負電荷へ入る。そのため閉曲面を通る流束の総量は、内部の電荷で決まる。
一方、磁場については単独の磁荷を仮定しない。磁場の線は閉じるか、外から入って外へ出る。したがって閉曲面に入る量と出る量が打ち消し合い、
\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0
となる。これは磁荷がないという主張を流束で書いたものである。
6法則 3：3 本目はファラデーの法則である
\oint_C\vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S
は、磁束の時間変化が誘導起電力を生むというファラデーの法則である。
6.1証明
回路に沿う起電力は、
\mathcal E=\oint_C\vec E\cdot d\vec l
である。磁束は
\Phi_B=\int_S\vec B\cdot d\vec S
である。したがって 3 本目は
\mathcal E=-\frac{d\Phi_B}{dt}
と同じである。これはファラデーの法則である。
7法則 4：4 本目はアンペールの法則の一般化である
電束の時間変化が無視できるとき、
\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S\vec E\cdot d\vec S
は
\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}
に戻る。
7.1証明
電束
\Phi_E=\int_S\vec E\cdot d\vec S
が時間で変化しないなら、
\frac{d\Phi_E}{dt}=0
である。したがって 4 本目の第 2 項は
\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=0
となる。よって
\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}
を得る。これは定常電流についてのアンペールの法則である。
8関係式 5：変位電流はコンデンサーの矛盾を解く
充電中のコンデンサーでは、極板間に導線電流はないが、変化する電場が磁場を作る。
8.1証明
コンデンサーを充電する導線には電流 I が流れる。極板に蓄えられる電荷を Q とすると、
I=\frac{dQ}{dt}
である。
極板間の電場についてガウスの法則を使うと、電束は
\Phi_E=\int_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_0}
である。したがって
\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}
=\varepsilon_0\frac{d}{dt}\left(\frac{Q}{\varepsilon_0}\right)
=\frac{dQ}{dt}
=I
である。
つまり、極板間では導線電流は通らないが、
I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}
という変位電流が導線電流 I と同じ役割を果たす。したがって面の取り方によってアンペールの法則の結果が変わるという矛盾が解消される。
9見分け方
- 静電場なら 1 本目が主役である。
- 静磁場なら 4 本目から定常のアンペールの法則が出る。
- 電磁誘導なら 3 本目である。
- コンデンサーの充電や電磁波では、変位電流を無視しない。
10どこまで成立するか
ここでは積分形だけを扱った。微分形へ進むには、発散、回転、ガウスの定理、ストークスの定理が必要である。また物質中では、分極や磁化を含めて \vec D,\vec H を使う書き方もある。
11最終形
\boxed{\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}}
\boxed{\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0}
\boxed{\oint_C\vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S}
\boxed{\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S\vec E\cdot d\vec S}
12一言
マクスウェル方程式は、電場と磁場の流束と循環を書くことで、電磁気の個別法則を 1 つに束ねる。