荷電粒子かでんりゅうしの運動うんどう

date2026-07-14document_iddoc_d78a9b3dfca73d4bcfdade60c357fe9bdescription荷電粒子の運動をローレンツ力から整理し、電場での加速、磁場中の円運動、らせん運動を証明する講義である。prerequisites電場と電位 / 磁場と電磁誘導 / 円運動と単振動 / 仕事と力学的エネルギーtype講義statusactive

physicselectromagnetismcharged-particlelorentz-forcelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、電場でんばと磁場じばが荷電粒子かでんりゅうしへ及およぼす効果こうかを分わける方法ほうほうを説明せつめいする。

電場でんばの力ちからは $\vec{F} = q \vec{E}$ で、速度そくどと同おなじ向むきにも反対向はんたいむきにもなれる。そのため速はやさを変かえる。一方いっぽう、磁場じばの力ちからは $\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$ で速度そくどに垂直すいちょくである。そのため速はやさの大おおきさではなく向むきを変かえる。

2用語ようごと定義ていぎ

ローレンツ力りょくLorentz forceとは、電場でんば $\vec{E}$ と磁場じば $\vec{B}$ の中なかで電荷でんか $q$ 、速度そくど $\vec{v}$ の粒子りゅうしが受うける力ちからであり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}

である。

3方針ほうしん

荷電粒子かでんりゅうしの運動うんどうでは、力ちからの向むきを先さきに見みる。

電場でんばだけなら、 $m \vec{a} = q \vec{E}$ で等加速度運動とうかそくどううんどうを見みる。
電位差でんいさが与あたえられたら、エネルギー保存ほぞんで $q V$ を運動うんどうエネルギーに変かえる。
磁場じばだけで $\vec{v} ⊥ \vec{B}$ なら、向心力こうしんりょくとして円運動えんうんどうを見みる。
$\vec{v}$ に磁場じばと平行へいこうな成分せいぶんがあれば、円運動えんうんどうと等速直線運動とうそくちょくせんうんどうの合成ごうせいとして見みる。

4関係式かんけいしき 1：一様電場いちようでんばでの加速度かそくど

一様電場いちようでんば $\vec{E}$ の中なかで、質量しつりょう $m$ 、電荷でんか $q$ の粒子りゅうしは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E}

の加速度かそくどを受うける。

4.1証明しょうめい

電場でんばによる力ちからは

\vec{F} = q \vec{E}

である。ニュートンの運動方程式うんどうほうていしきより

m \vec{a} = \vec{F}

なので、

m \vec{a} = q \vec{E}

である。 $m > 0$ で割わると

\vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E}

を得える。

5関係式かんけいしき 2：電位差でんいさで加速かそくされた粒子りゅうしの速はやさ

静止せいししていた電荷でんか $q$ 、質量しつりょう $m$ の粒子りゅうしが電位差でんいさ $V$ で加速かそくされ、電場でんばがした仕事しごとがすべて運動うんどうエネルギーになるなら、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{1}{2} m v^{2} = q V

である。 $q V > 0$ のとき、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v = \sqrt{\frac{2 q V}{m}}

である。

5.1証明しょうめい

電位差でんいさ $V$ を通とおって電荷でんか $q$ が移動いどうすると、電場でんばが与あたえるエネルギーは $q V$ である。初はじめ静止せいししているので、運動うんどうエネルギーの増加ぞうかは

\frac{1}{2} m v^{2} - 0

である。エネルギー保存ほぞんより

\frac{1}{2} m v^{2} = q V

である。 $q V > 0$ なら両辺りょうへんを解といて

v = \sqrt{\frac{2 q V}{m}}

を得える。

6関係式かんけいしき 3：一様磁場いちようじばに垂直すいちょくに入はいると円運動えんうんどうする

一様磁場いちようじば $\vec{B}$ に速度そくど $\vec{v}$ が垂直すいちょくな荷電粒子かでんりゅうしは、速はやさの大おおきさを保たもって円運動えんうんどうする。その半径はんけいは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] r = \frac{m v}{| q | B}

であり、周期しゅうきは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] T = \frac{2 π m}{| q | B}

である。

6.1証明しょうめい

$\vec{v} ⊥ \vec{B}$ なので、磁場じばから受うける力ちからの大おおきさは

F = | q | v B

である。この力ちからは速度そくどに垂直すいちょくで、向心力こうしんりょくとして働はたらく。円運動えんうんどうの向心力こうしんりょくは

\frac{m v^{2}}{r}

なので、

| q | v B = \frac{m v^{2}}{r}

である。 $v > 0$ として整理せいりすると

r = \frac{m v}{| q | B}

を得える。

周期しゅうきは

T = \frac{2 π r}{v}

である。ここに $r = m v / (| q | B)$ を代入だいにゅうして

T = \frac{2 π}{v} \frac{m v}{| q | B} = \frac{2 π m}{| q | B}

を得える。

7整理せいり 4：平行成分へいこうせいぶんがあるとらせん運動うんどうになる

$\vec{v}$ を磁場じばに垂直すいちょくな成分せいぶん $\vec{v_{⊥}}$ と平行へいこうな成分せいぶん $\vec{v_{∥}}$ に分わけると、垂直成分すいちょくせいぶんは円運動えんうんどうし、平行成分へいこうせいぶんは等速直線運動とうそくちょくせんうんどうする。

7.1証明しょうめい

磁場じばによる力ちからは

\vec{F_{B}} = q \vec{v} \times \vec{B}

である。 $\vec{v_{∥}}$ は $\vec{B}$ と平行へいこうなので、

\vec{v_{∥}} \times \vec{B} = \vec{0}

である。一方いっぽう、 $\vec{v_{⊥}}$ は $\vec{B}$ と垂直すいちょくなので、力ちからを受うけて円運動えんうんどうの向心力こうしんりょくになる。したがって平行方向へいこうほうこうには力ちからがなく等速直線運動とうそくちょくせんうんどう、垂直方向すいちょくほうこうには円運動えんうんどうが起おこる。この合成ごうせいがらせん運動うんどうである。

8見分みわけ方かた

電位差でんいさで加速かそくなら $q V = \frac{1}{2} m v^{2}$ 。
磁場中じばちゅうの半径はんけいなら $r = m v / (| q | B)$ 。
周期しゅうきなら $T = 2 π m / (| q | B)$ 。
磁場じばに平行へいこうな速度成分そくどせいぶんは曲まげられない。

9どこまで成立せいりつするか

ここでは相対論的そうたいろんてきでない速はやさを仮定かていした。粒子りゅうしの速はやさが光速こうそくに近ちかい場合ばあいは、運動量うんどうりょうとエネルギーの関係かんけいを相対論そうたいろんで扱あつかう必要ひつようがある。

10最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] q V = \frac{1}{2} m v^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] r = \frac{m v}{| q | B}

11一言ひとこと

電場でんばは荷電粒子かでんりゅうしの速はやさを変かえ、磁場じばは速度そくどの向むきを曲まげる。