流体りゅうたいの基本きほん

date2026-03-27description流体の基本を、圧力・浮力・連続の式・ベルヌーイの式を用いて、静止した流体から流れる流体までつなげて説明します。prerequisites熱と気体 / 仕事と力学的エネルギー / 微分法の基本type講義statusactive

physicsfluidhighschoolundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、流体りゅうたいでは「力ちからがどの面積めんせきにどう分布ぶんぷしているか」を圧力あつりょくとして捉とらえることです。

力学りきがくでは質点しつてんに働はたらく力ちからを直接ちょくせつ考かんがえることが多おおいですが、流体りゅうたいでは押おす力ちからが空間くうかんに広ひろがって伝つたわります。そのため、まず圧力あつりょくという量りょうで静止せいしした流体りゅうたいを扱あつかい、そのあと連続れんぞくの式しきとベルヌーイの式しきで流ながれる流体りゅうたいを扱あつかいます。

用語ようごと定義ていぎ

圧力あつりょくPressure は

p = \frac{F}{S}

です。

浮力ふりょくBuoyant force は、流体りゅうたいから物体ぶったいが受うける上向うわむきの力ちからです。

連続れんぞくの式しきContinuity equation は、定常流ていじょうりゅうでは流量りゅうりょうが一定いっていになるという関係かんけいです。

方針ほうしん

静止せいしした流体りゅうたいでは、「深ふかいほど圧力あつりょくが大おおきい」という事実じじつから浮力ふりょくまでつなげます。流ながれる流体りゅうたいでは、まず断面積だんめんせきと速はやさの関係かんけいを連続れんぞくの式しきで見みて、そのあと仕事しごととエネルギーの立場たちばからベルヌーイの式しきへ進すすみます。

ここで前提ぜんていもはっきりさせます。連続れんぞくの式しきは、ここでは定常流ていじょうりゅうで密度みつどを一定いっていとみなせる場合ばあいを考かんがえます。ベルヌーイの式しきも、粘性ねんせいを無視むしできる流体りゅうたいが、同おなじ流線りゅうせんにそって流ながれる場合ばあいに限かぎって使つかいます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

水中すいちゅうで深ふかく潜もぐるほど耳みみが痛いたくなるのは、深ふかいほど水圧すいあつが大おおきいからです。また、川かわの幅はばが狭せまくなると流ながれが速はやくなるのは、同おなじ量りょうの水みずがより狭せまいところを通とおるからです。

流体りゅうたいの問題もんだいは、見みた目めは違ちがっても、「どこで圧力あつりょくを見みるか」「どこで流量りゅうりょうを比くらべるか」「どこでエネルギーの保存ほぞんを使つかうか」を押おさえるとかなり整理せいりできます。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 圧力あつりょく

p = \frac{F}{S}

なので、同おなじ力ちからでも面積めんせきが小ちいさいほど圧力あつりょくは大おおきくなります。

2. 静止せいしした流体りゅうたいと浮力ふりょく

密度みつど $ρ$ の流体りゅうたいで、深ふかさ $h$ のところの圧力あつりょくは

p = p_{0} + ρ g h

です。これは、断面積だんめんせき $S$ 、高たかさ $h$ の流体りゅうたいの柱はしらを考かんがえると導みちびけます。つり合あいより、下側したがわからの力ちからは $p S$ 、上側うえがわからの力ちからは $p_{0} S$ 、重力じゅうりょくは $ρ S h g$ なので

p S = p_{0} S + ρ S h g

です。これを $S$ で割われば

p = p_{0} + ρ g h

を得えます。

したがって物体ぶったいの下側したがわと上側うえがわでは圧力あつりょくが違ちがい、その差さによって上向うわむきの力ちからが生しょうじます。これが浮力ふりょくです。

物体ぶったいが押おしのけた流体りゅうたいの体積たいせきを $V$ とすると、

F_{B} = ρ g V

となります。これは、物体ぶったいの上面じょうめんと下面かめんの圧力差あつりょくさを面積めんせきに掛かけた力ちからが、ちょうど押おしのけた流体りゅうたいの重おもさに一致いっちすることを意味いみします。これがアルキメデスの原理げんりです。

3. 連続れんぞくの式しき

密度みつどを一定いっていとみなせる定常流ていじょうりゅうでは、ある時間じかんに断面だんめんを通とおる体積たいせきがどこでも同おなじです。したがって

S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}

が成なり立たちます。

これは、時間じかん $Δ t$ のあいだに断面だんめん 1 を通とおる体積たいせきが $S_{1} v_{1} Δ t$ 、断面だんめん 2 を通とおる体積たいせきが $S_{2} v_{2} Δ t$ であり、途中とちゅうで流体りゅうたいがたまったり消きえたりしないからです。

4. ベルヌーイの式しき

流線りゅうせんにそって流ながれる流体りゅうたいに仕事しごととエネルギー保存ほぞんを考かんがえると、

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

を得えます。

これは、体積たいせき $Δ V$ の流体りゅうたいに注目ちゅうもくし、上流じょうりゅうで圧力あつりょくがした仕事しごとと下流かりゅうで受うける仕事しごとの差さが、運動うんどうエネルギーと位置いちエネルギーの増加ぞうかに等ひとしいと考かんがえると導みちびけます。すなわち

p_{1} Δ V - p_{2} Δ V = \frac{1}{2} ρ Δ V (v_{2^{2}} - v_{1^{2}}) + ρ Δ V g (h_{2} - h_{1})

です。これを $Δ V$ で割わって整理せいりすると

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1^{2}} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2^{2}} + ρ g h_{2}

となり、ベルヌーイの式しきを得えます。

これは、圧力あつりょく、運動うんどうによる項こう、位置いちによる項こうの和わが一定いっていだという式しきです。

別べつの見方みかた

ベルヌーイの式しきは、流体りゅうたいにおける力学的りきがくてきエネルギー保存ほぞんの式しきと見みることができます。つまり、流体りゅうたいの問題もんだいも、「圧力あつりょく」「速はやさ」「高たかさ」のどれを比較ひかくするかが見みえれば、力学りきがくとよく似にた考かんがえ方かたで整理せいりできます。

見分みわけ方かた

静止せいしした水みずや気体きたいの問題もんだいなら、まず圧力あつりょくと浮力ふりょくを考かんがえます。
管くだの太ふとさが変かわる流ながれなら、まず連続れんぞくの式しきです。
速はやさ、高たかさ、圧力あつりょくの三みっつが同時どうじに出でるなら、ベルヌーイの式しきを疑うたがいます。
浮うくか沈しずむかを問とう問題もんだいでは、重力じゅうりょくと浮力ふりょくの大小だいしょうを比くらべます。
ただし粘性ねんせいが効きく細ほそい管くだの流ながれや、渦うずを含ふくむ複雑ふくざつな流ながれでは、ベルヌーイの式しきをそのまま使つかわないようにします。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p = \frac{F}{S}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p = p_{0} + ρ g h

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] F_{B} = ρ g V

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

どこまで成なり立たつか

静止せいしした流体りゅうたいの圧力あつりょくや浮力ふりょくの議論ぎろんは、密度みつどを一定いっていとみなせる液体えきたいでは特とくに扱あつかいやすいです。

連続れんぞくの式しきは、ここでは非圧縮ひあっしゅくの定常流ていじょうりゅうを仮定かていしています。ベルヌーイの式しきは、さらに粘性ねんせいを無視むしでき、同おなじ流線りゅうせんにそって比くらべる場合ばあいに使つかいます。

したがって、粘性ねんせいによる損失そんしつが大おおきい流ながれや、乱流らんりゅうが支配的しはいな場合ばあいには、ベルヌーイの式しきを単純たんじゅんな保存則ほぞんそくとして使つかうと誤あやまります。

一言ひとことでいうと

流体りゅうたいでは、圧力あつりょくで静止せいしした状態じょうたいを、連続れんぞくの式しきとベルヌーイの式しきで流ながれる状態じょうたいを整理せいりします。