熱容量と比熱の基本
physicsthermodynamicsheat-capacitylecture
1導入
この講義では、熱容量を「温度を 1 度だけ変えるのに必要な熱」として解説する。
同じ熱量を加えても、物質や量が違えば温度変化は違う。水は温度が上がりにくく、金属は上がりやすい。この違いを数式にしたものが熱容量と比熱である。
2用語と定義
熱容量 C とは、物体の温度を 1 K 変えるのに必要な熱量である。
比熱 c とは、単位質量あたりの熱容量である。
モル熱容量 C_m とは、1 mol あたりの熱容量である。
3方針
温度変化と熱量の問題では、まず何が一定かを確認する。
- 固体や液体の加熱なら Q=mc\Delta T を使う。
- 混合なら、外部へ熱が逃げないという熱収支を立てる。
- 気体なら、定積か定圧かで熱容量が変わる。
4関係式 1：Q=C\Delta T=mc\Delta T=nC_m\Delta T
熱容量が温度範囲で一定とみなせるなら、
\boxed{Q=C\Delta T}
である。質量 m、比熱 c を使えば
\boxed{Q=mc\Delta T}
であり、物質量 n、モル熱容量 C_m を使えば
\boxed{Q=nC_m\Delta T}
である。
4.1証明
熱容量の定義は
C=\frac{Q}{\Delta T}
である。温度範囲で C が一定なら、両辺に \Delta T を掛けて
Q=C\Delta T
を得る。比熱は単位質量あたりの熱容量なので
C=mc
である。したがって
Q=mc\Delta T
である。同様に、モル熱容量では
C=nC_m
なので、
Q=nC_m\Delta T
を得る。
5関係式 2：断熱された混合では熱量の和が 0
外部と熱を交換しない容器の中で、物体どうしが熱を交換して最終温度に達するなら、
\boxed{\sum_i Q_i=0}
である。
5.1証明
容器を含めた全体を系とする。外部と熱を交換しないので、外部から系へ入る熱量は 0 である。したがって、系の内部で失われた熱量と得られた熱量は相殺する。
各物体が受け取った熱量を Q_i と符号つきで書けば、熱を失った物体は Q_i<0、熱を得た物体は Q_i>0 である。全体として外部との交換がないため、
\sum_i Q_i=0
である。
6関係式 3：理想気体では C_p-C_V=R
1 mol の理想気体について、定圧モル熱容量を C_p、定積モル熱容量を C_V とすると、
\boxed{C_p-C_V=R}
である。
6.1証明
定積変化では dV=0 なので、気体は外部へ仕事をしない。したがって加えた熱は内部エネルギーの増加になる。1 mol あたり
dU=C_V\,dT
である。
定圧変化では、熱力学第一法則より
dQ=dU+p\,dV
である。定圧モル熱容量の定義から
dQ=C_p\,dT
である。また 1 mol の理想気体では
pV=RT
なので、定圧で微分すると
p\,dV=R\,dT
である。よって
C_p\,dT=C_V\,dT+R\,dT
となり、
C_p-C_V=R
を得る。
7単位の確認
mc\Delta T の単位は
[\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]
[\mathrm{J/(kg\,K)};\ \mathsf{L^2T^{-2}\Theta^{-1}}]
[\mathrm{K};\ \mathsf{\Theta}]
=
[\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]
である。
8見分け方
- 温度変化と熱量なら Q=mc\Delta T。
- 熱の混合なら \sum Q_i=0。
- 気体の熱容量なら、定積か定圧かを先に確認する。
9どこまで成立するか
Q=mc\Delta T は相転移がなく、比熱が温度範囲でほぼ一定とみなせるときの式である。融解や蒸発では、温度が変わらなくても熱が使われるため、潜熱を別に扱う。
10最終形
\boxed{Q=mc\Delta T}
\boxed{\sum_iQ_i=0\quad\text{断熱混合}}
\boxed{C_p-C_V=R}
11一言
熱容量は、熱を温度変化へ翻訳する係数である。