無限降下法むげんこうかほうinfinite descentで整数解せいすうかいを否定ひていする定石じょうせき

11. 使つかう場面ばめん

• 非零整数解ひれいせいすうかい・正整数解せいせいすうかいが存在そんざいしないことを証明しょうめいする
• 解かいの存在そんざいを仮定かていすると、同おなじ条件じょうけんを満みたし、真しんに小ちいさい解かいを作つくれそうな斉次方程式せいじほうていしきを扱あつかう
• 偶奇ぐうきや素因数そいんすうの重複ちょうふくから、全変数ぜんへんすうに共通因子きょうつういんしが生しょうじる問題もんだい

22. 見分みわけ方かた

単たんなる背理法はいりほうとの差さは、矛盾むじゅんを直接ちょくせつ出だすのでなく「解かいがあれば、測度そくどがさらに小ちいさい解かいもある」という生成規則せいせいきそくを作つくる点てんにある。合同式ごうどうしきだけで直ただちに矛盾むじゅんするなら合同式ごうどうしきを選えらび、真しんに小ちいさい、同おなじ条件じょうけんを満みたす解かいを再構成さいこうせいできるときに無限降下法むげんこうかほうを選えらぶ。

33. 使つかう原理げんり

正整数せいせいすうの空からでない集合しゅうごうには最小元さいしょうげんが存在そんざいする。したがって、解かいの集合しゅうごうから正整数値せいせいすうちの測度そくどMeasure $M$M を選えらび、任意にんいの解かいから $0<M^{\prime }<M$0<M'<M を満みたす別べつの解かいを構成こうせいできれば、解かいは存在そんざいしない。

適用条件てきようじょうけんは、測度そくどが正整数値せいせいすうちであること、構成後こうせいごも元もとと同おなじ条件じょうけんを満みたすこと、狭義きょうぎの減少げんしょうを証明しょうめいできることである。

44. 解とき方かたの手順てじゅん

1. 非自明ひじめいな整数解せいすうかいが存在そんざいすると仮定かていする。
2. 絶対値ぜったいち、和わ、積せきなどの正整数値せいせいすうちの測度そくどを定さだめ、その最小さいしょうの解かいを取とる。
3. 方程式ほうていしきが同次どうじで、共通因子きょうつういんしを除のぞいても同おなじ条件じょうけんを保たもつと確認かくにんできる場合ばあいに、$gcd$gcd で共通因子きょうつういんしを除のぞいて原始解げんしかいprimitive solutionへ還元かんげんする。
4. 偶奇ぐうき・整除せいじょ・因数分解いんすうぶんかいから、新あたらしい整数せいすうの組くみを構成こうせいする。
5. 新あたらしい組くみが同おなじ方程式ほうていしきと非自明性ひじめいせいを満みたすことを確認かくにんする。
6. 測度そくどが真しんに小ちいさいことを示しめし、最小性さいしょうせいとの矛盾むじゅんを結論けつろんする。

55. 判別はんべつと注意点ちゅういてん

「同おなじ方程式ほうていしきを満みたす」と「小ちいさくなる」の両方りょうほうが必要ひつようである。共通因子きょうつういんしで割わる場合ばあいは、その因子いんしが全変数ぜんへんすうを割わり、商しょうが整数せいすうであることを示しめす。測度そくどに $\left|x\right|$|x| を選えらんだのに $y$y だけが小ちいさくなる構成こうせいでは降下こうかにならない。

66. 落おとし穴あな

• 無限むげんに小ちいさくなると述のべるだけで、最小元さいしょうげんを固定こていしない
• 構成こうせいした組くみが整数せいすうか、非零ひれいか、同おなじ条件じょうけんを満みたすかを確認かくにんしない
• $M^{\prime }\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}M$M'\le M しか示しめさず、等号とうごうの場合ばあいを排除はいじょしない
• 共通因子きょうつういんしで割わったあと、原始性げんしせいを暗黙あんもくに仮定かていする

77. 関連かんれんリンク

88. 演習えんしゅうリンク