ディオファントス方程式ほうていしきと無限降下法むげんこうかほう

date2026-07-14document_iddoc_d13ddca96a4c18f0cab38144451bb246description整数解を求めるディオファントス方程式を、一次不定方程式・同次方程式・原始解・無限降下法の観点から整理する講義である。prerequisites整数の性質の基本 / 合同式と余りの基本 / ユークリッドの互除法と一次不定方程式type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、ディオファントス方程式ほうていしきでは、実数解じっすうかいではなく整数解せいすうかいを探さがすことを説明せつめいする。

たとえば

x^{2} + y^{2} = z^{2}

は実数じっすうでは無数むすうに解かいを持もつ。しかし整数せいすうで解かいを探さがすと、約数やくすう、互たがいに素そ、偶奇ぐうき、合同式ごうどうしきが効きいてくる。

2用語ようご

2.1ディオファントス方程式ほうていしき

整数係数せいすうけいすうの方程式ほうていしきについて、整数解せいすうかいを求もとめる問題もんだいをディオファントス方程式ほうていしきという。

2.2一次いちじ不定方程式ふていほうていしき

a x + b y = c

の整数解せいすうかいを求もとめる問題もんだいである。この形かたちは互除法ごじょほうで扱あつかえる。

data/lecture/math/algebra/euclidean-algorithm-and-linear-diophantine-equations.lecture.n.md

2.3同次方程式どうじほうていしき

多項式たこうしき $P (x_{1}, \dots, x_{n})$ が同次どうじであるとき、

P (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0

を同次方程式どうじほうていしきという。この文脈ぶんみゃくでは、全すべての項こうの次数じすうが同おなじである、という意味いみである。

data/lecture/math/algebra/homogeneous-functions-and-expressions.lecture.n.md

3なぜ原始解げんしかいを見みるのか

同次方程式どうじほうていしきでは、解かいを整数倍せいすうばいしてもまた解かいになる。

たとえば $P$ が $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきで、 $P (a) = 0$ なら、

P (k a) = k^{d} P (a) = 0

である。したがって、本質的ほんしつてきには共通因数きょうつういんすうを取とり除のぞいた解かいを見みればよい。このような解かいを原始解げんしかいという。

4命題めいだい 1：同次方程式どうじほうていしきの整数解せいすうかいは原始解げんしかいへ縮ちぢめられる

4.1仮定かてい

$P$ を整数係数せいすうけいすうの $d$ 次じ同次多項式どうじたこうしきとする。 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ が $P = 0$ の整数解せいすうかいで、すべて 0 ではないとする。

4.2結論けつろん

$g = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"gcd\")")] (a_{1}, \dots, a_{n})$ とすると、

(\frac{a_{1}}{g}, \dots, \frac{a_{n}}{g})

も整数解せいすうかいであり、この成分せいぶんたちの最大公約数さいだいこうやくすうは 1 である。

4.3証明しょうめい

$a_{i} = g b_{i}$ と書かく。 $P$ は $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきなので、

P (a_{1}, \dots, a_{n}) = P (g b_{1}, \dots, g b_{n}) = g^{d} P (b_{1}, \dots, b_{n})

である。左辺さへんは 0 だから、

g^{d} P (b_{1}, \dots, b_{n}) = 0

である。 $g \neq 0$ なので、 $P (b_{1}, \dots, b_{n}) = 0$ である。また $g$ は全成分ぜんせいぶんの最大公約数さいだいこうやくすうなので、 $b_{1}, \dots, b_{n}$ の最大公約数さいだいこうやくすうは 1 である。□

5無限降下法むげんこうかほう

無限降下法むげんこうかほうは、正せいの整数せいすうには無限むげんに小ちいさくなる列れつが存在そんざいしないことを使つかう証明法しょうめいほうである。

6原理げんり 1：無限降下法むげんこうかほう

6.1仮定かてい

ある種類しゅるいの整数解せいすうかい $S$ に、正整数値せいせいすうちを取とる高たかさheight $h (S)$ を定さだめる。解かい $S$ が存在そんざいすると仮定かていしたとき、そこから必かならず $h (S^{'}) < h (S)$ を満みたす同おなじ種類しゅるいの解かい $S^{'}$ を作つくれるとする。

6.2結論けつろん

その種類しゅるいの整数解せいすうかいは存在そんざいしない。

6.3証明しょうめい

もし整数解せいすうかいが存在そんざいするなら、高たかさの集合しゅうごう ${h (S)}$ は空くうでない正整数せいせいすうの集合しゅうごうである。整列性せいれつせいにより、その中なかから高たかさが最小さいしょうの解かい $S$ を選えらべる。

しかし仮定かていにより、 $S$ から $h (S^{'}) < h (S)$ を満みたす解かい $S^{'}$ を作つくれる。これは $h (S)$ の最小性さいしょうせいに矛盾むじゅんする。

したがって、そのような解かいは存在そんざいしない。□

7例れい： $x^{2} = 2 y^{2}$ に 0 でない整数解せいすうかいはない

7.1主張しゅちょう

x^{2} = 2 y^{2}

を満みたす 0 でない整数解せいすうかいは存在そんざいしない。

7.2証明しょうめい

0 でない整数解せいすうかいが存在そんざいすると仮定かていする。命題めいだい 1 により、 $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"gcd\")")] (x, y) = 1$ の原始解げんしかいを取とれる。

$x^{2} = 2 y^{2}$ なので、 $x^{2}$ は偶数ぐうすうである。したがって $x$ は偶数ぐうすうである。 $x = 2 k$ と置おくと、

4 k^{2} = 2 y^{2}

だから

y^{2} = 2 k^{2}

である。よって $y^{2}$ も偶数ぐうすうであり、 $y$ も偶数ぐうすうである。

すると $x, y$ はどちらも 2 で割わり切きれる。これは $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"gcd\")")] (x, y) = 1$ に反はんする。したがって 0 でない整数解せいすうかいは存在そんざいしない。□

この証明しょうめいは、原始解げんしかいを仮定かていしたあと、実じつは両方りょうほうが 2 で割われることを示しめして矛盾むじゅんを出だしている。無限降下法むげんこうかほうの典型てんけいである。

8見分みわけ方かた

$a x + b y = c$ なら、まず $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"gcd\")")] (a, b) ∣ c$ を確認かくにんする。
同次方程式どうじほうていしきなら、原始解げんしかいへ縮ちぢめる。
偶奇ぐうきや合同式ごうどうしきで全成分ぜんせいぶんが同おなじ素数そすうで割われると分わかったら、無限降下法むげんこうかほうを疑うたがう。

10演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/algebra/diophantine-equations-and-infinite-descent.exercise.n.md

11定石じょうせきリンク

data/reference/math/algebra/infinite-descent-for-impossibility.reference.n.md