ディオファントス方程式ほうていしきDiophantine equationと無限降下法むげんこうかほうinfinite descent-基本演習きほんえんしゅう

3.1解答例かいとうれい

平方数へいほうかずは法ほう $4$4 で $0$0 または $1$1 である。したがって $x^2+y^2$x^2+y^2 の余あまりは $0,1,2$0,1,2 のいずれかであり、$4z+3\equiv 3\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("pmod")")]}4$4z+3\equiv3\pmod4 にはならない。よって整数解せいすうかいは存在そんざいしない。

3.2診断しんだん

方程式ほうていしきを直接ちょくせつ解とかず、平方剰余へいほうじょうよだけで矛盾むじゅんを得えられる法ほうを選択せんたくする。

4.1解答例かいとうれい

$g=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(x,y,z)$g=\gcd(x,y,z) とし、$x=g{x}_0,y=g{y}_0,z=g{z}_0$x=gx_0,y=gy_0,z=gz_0 と書かく。同次性どうじせいから

$g>0$g>0 なので $P(x_0,y_0,z_0)=0$P(x_0,y_0,z_0)=0 であり、最大公約数さいだいこうやくすうの定義ていぎから $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(x_0,y_0,z_0)=1$\gcd(x_0,y_0,z_0)=1 である。

4.2診断しんだん

同次性どうじせいが共通因子きょうつういんしを括くくり出だせる根拠こんきょであり、非同次方程式ひどうじほうていしきにはそのまま適用てきようできない。

5.1解答例かいとうれい

原始解げんしかい $(x,y)$(x,y) があると仮定かていする。$x^2$x^2 が偶数ぐうすうなので $x$x は偶数ぐうすうであり、$x=2k$x=2k と書かける。すると $4k^2=2y^2$4k^2=2y^2、すなわち $y^2=2k^2$y^2=2k^2 なので $y$y も偶数ぐうすうである。これは $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(x,y)=1$\gcd(x,y)=1 に反はんする。

5.2診断しんだん

「平方へいほうが偶数ぐうすうなら元もとも偶数ぐうすう」を、奇数きすうの平方へいほうが奇数きすうであることの対偶たいぐうとして説明せつめいする。

6.1解答例かいとうれい

解かいが存在そんざいすると仮定かていすれば、正整数せいせいすうの整列性せいれつせいにより最小さいしょうの解かいを選えらべる。しかし仮定かていした構成こうせいから、それより小ちいさい同種どうしゅの正整数解せいせいすうかいが得えられ、最小性さいしょうせいに矛盾むじゅんする。よって解かいは存在そんざいしない。

6.2診断しんだん

単たんに「無限むげんに小ちいさくなる」と述のべず、正整数せいせいすうの整列性せいれつせいと最小性さいしょうせいの矛盾むじゅんを明示めいじする。

7.1解答例かいとうれい

非零解ひれいかいがあると仮定かていし、$\left|z\right|$|z| が最小さいしょうのものを選えらぶ。平方数へいほうかずは法ほう $3$3 で $0$0 または $1$1 である。左辺さへんが $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("pmod")")]}3$0\pmod3 になるには $x^2\equiv y^2\equiv 0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("pmod")")]}3$x^2\equiv y^2\equiv0\pmod3 が必要ひつようなので、$3\mid x,y$3\mid x,y である。$x=3x_1,y=3y_1$x=3x_1,y=3y_1 と置おくと

ゆえに $z^2=3(x_{1^2}+y_{1^2})$z^2=3(x_1^2+y_1^2) であり $3\mid z$3\mid z である。$z=3z_1$z=3z_1 とすれば

これは $0<\left|z_1\right|<\left|z\right|$0<|z_1|<|z| を満みたす同種どうしゅの非零解ひれいかいであり、$\left|z\right|$|z| の最小性さいしょうせいに矛盾むじゅんする。

7.2診断しんだん

小ちいさくなる量りょうを $\left|z\right|$|z| と明示めいじし、新あたらしい解かいが整数せいすうかつ非零ひれいであることを確認かくにんする。