群作用ぐんさようgroup actionと軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりorbit-stabilizer theorem 基本きほん演習えんしゅう

group actions群作用ぐんさよう and the orbit-stabilizer theorem軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていり: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lecture

2問題もんだい1：左正則作用ひだりせいそくさよう

群ぐん $$G$$G に対たいして $$g·x=gx$$g\cdot x=gx と定さだめる。これが $$G$$G の自分自身じぶんじしんへの群作用ぐんさようであることを示しめし、$$x\in G$$x\in G の軌道きどうと固定部分群こていぶぶんぐんを求もとめよ。

2Problem 1: the left regular action

For a group $$G$$G, define $$g·x=gx$$g\cdot x=gx. Prove that this is an action of $$G$$G on itself, and find the orbit and stabilizer of $$x\in G$$x\in G.

2.1解答かいとう

$$e·x=ex=x$$e\cdot x=ex=x であり、$$\left(gh\right)·x=\left(gh\right)x=g\left(hx\right)=g·(h·x)$$(gh)\cdot x=(gh)x=g(hx)=g\cdot(h\cdot x) なので作用さようの公理こうりを満みたす。任意にんいの $$y\in G$$y\in G は $$y=\left(y{x}^{-1}\right)·x$$y=(yx^{-1})\cdot x と書かけるので軌道きどうは $$G$$G 全体ぜんたいである。また $$g·x=x$$g\cdot x=x なら右消去みぎしょうきょにより $$g=e$$g=e なので、固定部分群こていぶぶんぐんは $$\left\{e\right\}$$\{e\} である。

2.1Answer

We have $$e·x=ex=x$$e\cdot x=ex=x and $$\left(gh\right)·x=\left(gh\right)x=g\left(hx\right)=g·(h·x)$$(gh)\cdot x=(gh)x=g(hx)=g\cdot(h\cdot x), so the action axioms hold. Every $$y\in G$$y\in G can be written as $$y=\left(y{x}^{-1}\right)·x$$y=(yx^{-1})\cdot x, so the orbit is all of $$G$$G. If $$g·x=x$$g\cdot x=x, right cancellation gives $$g=e$$g=e, so the stabilizer is $$\left\{e\right\}$$\{e\}.

3問題もんだい2：正三角形せいさんかくけいの頂点ちょうてん

正三角形せいさんかくけいの 6 個この対称性たいしょうせいが 3 頂点ちょうてんに作用さようする。ある頂点ちょうてん $$x$$x の軌道きどうと固定部分群こていぶぶんぐんの元げんの個数こすうを求もとめ、軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりを確認かくにんせよ。

3Problem 2: vertices of an equilateral triangle

The six symmetries of an equilateral triangle act on its three vertices. Find the sizes of the orbit and stabilizer of a vertex $$x$$x, and verify the orbit-stabilizer theorem.

3.1解答かいとう

任意にんいの頂点ちょうてんへ移うつせるので $$\left|Gx\right|=3$$|Gx|=3 である。$$x$$x を固定こていするのは恒等変換こうとうへんかんと $$x$$x を通とおる軸じくについての鏡映きょうえいなので $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2 である。したがって

となる。

3.1Answer

Every vertex is reachable, so $$\left|Gx\right|=3$$|Gx|=3. The identity and the reflection across the axis through $$x$$x fix the vertex, so $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2. Therefore

4問題もんだい3：作用さようの核かくと固定部分群こていぶぶんぐん

作用さように対応たいおうする $$\rho :G\to \mathrm{Sym}\left(X\right)$$\rho:G\to\operatorname{Sym}(X) について、

を証明しょうめいせよ。また、正三角形せいさんかくけいの頂点ちょうてんへの作用さようでは $$\ker \rho =\left\{e\right\}$$\ker\rho=\{e\} だが $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2 であることを説明せつめいせよ。

4Problem 3: kernel of an action and stabilizers

For the homomorphism $$\rho :G\to \mathrm{Sym}\left(X\right)$$\rho:G\to\operatorname{Sym}(X) associated with an action, prove

Then explain why the action on the vertices of an equilateral triangle has $$\ker \rho =\left\{e\right\}$$\ker\rho=\{e\} although $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2.

4.1解答かいとう

$$g\in \ker \rho$$g\in\ker\rho であることは $$\rho \left(g\right)$$\rho(g) が恒等写像こうとうしゃぞうであること、すなわち全すべての $$x\in X$$x\in X について $$g·x=x$$g\cdot x=x であることと同値どうちである。これは $$g\in G_x$$g\in G_x がすべての $$x$$x について成立せいりつすることなので、等式とうしきを得える。

正三角形せいさんかくけいの全頂点ぜんちょうてんを固定こていする対称性たいしょうせいは恒等変換こうとうへんかんだけなので核かくは自明じめいである。しかし 1 頂点ちょうてんだけを固定こていする対称性たいしょうせいには、その頂点ちょうてんを通とおる軸じくの鏡映きょうえいもあるので $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2 である。

4.1Answer

An element $$g$$g lies in $$\ker \rho$$\ker\rho exactly when $$\rho \left(g\right)$$\rho(g) is the identity map, equivalently when $$g·x=x$$g\cdot x=x for every $$x\in X$$x\in X. This is exactly the condition that $$g$$g lie in every $$G_x$$G_x.

For the triangle, only the identity fixes all three vertices, so the kernel is trivial. A reflection through the axis containing one chosen vertex also fixes that vertex, so its stabilizer has two elements.