群作用ぐんさようgroup actionと対称性たいしょうせいsymmetry

date2026-07-14document_iddoc_df5fca749526db988e1d75f3584d1a34description群作用を、群を集合上の変換として見る方法として導入し、軌道・固定部分群・対称性を説明する。prerequisites[群/ぐん]の[基本/きほん] / [群準同型/ぐんじゅんどうけい]と[同型/どうけい] / [剰余類/じょうよるい]とラグランジュの[定理/ていり] / [写像/しゃぞう]の[基本/きほん]type講義content_typelecturestatusactive

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群ぐんgroupは、単たんなる演算表えんざんひょうoperation tableとしてだけでなく、集合しゅうごうsetを動うごかす変換へんかんtransformationの集あつまりとして見みることができる。この見方みかたが群作用ぐんさようgroup actionである。

群作用ぐんさようgroup actionを使つかうと、「群ぐんgroupの元げんelementが対象たいしょうobjectをどう動うごかすか」を直接ちょくせつ扱あつかえる。図形ずけいfigureの対称性たいしょうせいsymmetryの群ぐん、置換ちかんpermutationの群ぐん、可逆行列かぎゃくぎょうれつの群ぐんが線型変換せんけいへんかんとして作用さようすることが基本例きほんれいである。

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線型変換せんけいへんかんは応用例おうようれいとしての見通みとおしである。このページの定義ていぎと証明しょうめいでは、集合しゅうごうの元げんを別べつの元げんへ移うつす変換へんかんだけを使つかう。

group actions群作用ぐんさよう and symmetry対称性たいしょうせい

A group群ぐん can be viewed not only as an operation table演算表えんざんひょう, but also as a collection of transformations変換へんかん that move a set集合しゅうごう. This viewpoint is a group action群作用ぐんさよう.

Using group actions, we can directly describe how elements of a group move objects. Basic examples are the action of a symmetry group on a figure, a permutation group on its underlying set, and a group of invertible matrices through linear transformations.

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Linear transformations are included only as an application preview. The definitions and proofs on this page use only transformations that move elements of a set to other elements.

1群作用ぐんさようの定義ていぎ

群ぐんgroup $G$ が集合しゅうごうset $X$ に作用さようactするとは、写像しゃぞう $G \times X \to X$ 、 $(g, x) \mapsto g \cdot x$ が与あたえられ、任意にんいの $g, h \in G$ 、 $x \in X$ に対たいして次つぎを満みたすことである。

e \cdot x = x

(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)

第一だいいち式しきは、単位元たんいげんidentity elementは何なにもしないことを表あらわす。第二だいに式しきは、群ぐんgroupの積せきproductと変換へんかんtransformationの合成ごうせいcompositionが対応たいおうすることを表あらわす。

各かく $g \in G$ は $x \mapsto g \cdot x$ という $X$ の全単射ぜんたんしゃを定さだめる。逆写像ぎゃくしゃぞうは $g^{- 1}$ の作用さようである。 $X$ の全単射ぜんたんしゃ全体ぜんたいの群ぐんを $Sym (X)$ と書かくと、群作用ぐんさようは群準同型ぐんじゅんどうけい

G \to Sym (X), g \mapsto (x \mapsto g \cdot x)

を与あたえることと同おなじである。実際じっさい、 $ρ (g) (x) = g \cdot x$ とおけば

ρ (g h) (x) = (g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x) = (ρ (g) \circ ρ (h)) (x)

なので $ρ$ は準同型じゅんどうけいである。逆ぎゃくに準同型じゅんどうけい $ρ : G \to Sym (X)$ から $g \cdot x = ρ (g) (x)$ と定さだめれば、 $ρ (e) = {id}_{X}$ と $ρ (g h) = ρ (g) \circ ρ (h)$ から作用さようの二ふたつの公理こうりが従したがう。

1Definition of a group action

A group $G$ acts on a set $X$ if a map $G \times X \to X$ , $(g, x) \mapsto g \cdot x$ , is given and the following conditions hold for every $g, h \in G$ and $x \in X$ .

e \cdot x = x

(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)

The first equation says that the identity element単位元たんいげん does nothing. The second says that multiplication乗法じょうほう in the group corresponds to composition合成ごうせい of transformations.

Each $g \in G$ defines a bijection $x \mapsto g \cdot x$ of $X$ , whose inverse is the action of $g^{- 1}$ . If $Sym (X)$ denotes the group of all bijections from $X$ to itself, a group action is equivalently a group homomorphism

G \to Sym (X), g \mapsto (x \mapsto g \cdot x) .

Indeed, if $ρ (g) (x) = g \cdot x$ , then

ρ (g h) (x) = (g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x) = (ρ (g) \circ ρ (h)) (x),

so $ρ$ is a homomorphism. Conversely, given a homomorphism $ρ : G \to Sym (X)$ , define $g \cdot x = ρ (g) (x)$ . The identities $ρ (e) = {id}_{X}$ and $ρ (g h) = ρ (g) \circ ρ (h)$ give the two action axioms.

2軌道きどう

元げん $x \in X$ の軌道きどうorbitを

G x = {g \cdot x ∣ g \in G}

で定義ていぎする。軌道きどうは、群ぐんの作用さようによって $x$ から到達とうたつできる元げん全体ぜんたいである。

$y \sim x$ を「ある $g \in G$ があって $y = g \cdot x$ 」と定さだめると、これは同値関係どうちかんけいである。反射性はんしゃせいは $x = e \cdot x$ 、対称性たいしょうせいは $y = g \cdot x$ なら $x = g^{- 1} \cdot y$ 、推移性すいいせいは $y = g \cdot x$ 、 $z = h \cdot y$ なら $z = (h g) \cdot x$ から従したがう。したがって軌道きどうは $X$ を互たがいに交まじわらない同値類どうちるいへ分割ぶんかつする。

2Orbits

The orbit軌道きどう of an element $x \in X$ is defined by

G x = {g \cdot x ∣ g \in G}

The orbit is the set of all elements reachable from $x$ by the action作用さよう of the group.

Define $y \sim x$ to mean that $y = g \cdot x$ for some $g \in G$ . This is an equivalence relation. Reflexivity follows from $x = e \cdot x$ ; symmetry follows because $y = g \cdot x$ implies $x = g^{- 1} \cdot y$ ; and transitivity follows because $y = g \cdot x$ and $z = h \cdot y$ imply $z = (h g) \cdot x$ . Thus the orbits partition $X$ into disjoint equivalence classes.

3固定部分群こていぶぶんぐん

元げん $x \in X$ を動うごかさない群ぐんの元げん全体ぜんたい

G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}

を固定部分群こていぶぶんぐんstabilizerという。これは $G$ の部分群ぶぶんぐんである。実際じっさい、 $e \cdot x = x$ なので空からでなく、 $g, h \in G_{x}$ なら

(g h^{- 1}) \cdot x = g \cdot (h^{- 1} \cdot x) = g \cdot x = x

である。ここで $h \cdot x = x$ の両辺りょうへんに $h^{- 1}$ を作用さようさせて $h^{- 1} \cdot x = x$ を使つかった。したがって部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうより $G_{x} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ である。

軌道きどうは $x$ が「どこへ動うごけるか」を表あらわし、固定部分群こていぶぶんぐんは「どの群ぐんの元げんが $x$ を固定こていするか」を表あらわす。

3Stabilizers

The set of group elements that do not move $x \in X$ ,

G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}

is called the stabilizer. It is a subgroup of $G$ . Indeed, it is nonempty because $e \cdot x = x$ . If $g, h \in G_{x}$ , then

(g h^{- 1}) \cdot x = g \cdot (h^{- 1} \cdot x) = g \cdot x = x .

Here applying $h^{- 1}$ to $h \cdot x = x$ gives $h^{- 1} \cdot x = x$ . The subgroup criterion therefore gives $G_{x} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ .

The orbit describes where $x$ can move, and the stabilizer describes which group elements fix $x$ .

4作用さようの核かく・像ぞう・忠実性ちゅうじつせい

作用さように対応たいおうする準同型じゅんどうけいを $ρ : G \to Sym (X)$ とする。その核かくは

\ker ρ = {g \in G ∣ g \cdot x = x がすべての x \in X で成立する} = ⋂_{x \in X} G_{x}

である。最初さいしょの等号とうごうは $ρ (g)$ が恒等写像こうとうしゃぞうである条件じょうけん、二ふたつ目めは $g$ がすべての $x$ の固定部分群こていぶぶんぐんに属ぞくする条件じょうけんを書かいただけである。したがって $\ker ρ$ は正規部分群せいきぶぶんぐんであり、 $Im ρ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Sym (X)$ は $X$ 上じょうで実際じっさいに起おこる変換へんかん全体ぜんたいの部分群ぶぶんぐんである。

$\ker ρ = {e}$ 、すなわち $ρ$ が単射たんしゃである作用さようを忠実ちゅうじつという。忠実ちゅうじつであっても、ある $G_{x}$ が ${e}$ より大おおきいことはある。正三角形せいさんかくけいの頂点ちょうてんへの作用さようはその例れいである。

4Kernel, image, and faithfulness of an action

Let $ρ : G \to Sym (X)$ be the homomorphism corresponding to an action. Then

\ker ρ = {g \in G ∣ g \cdot x = x forevery x \in X} = ⋂_{x \in X} G_{x} .

The first equality restates when $ρ (g)$ is the identity map, and the second restates when $g$ belongs to every stabilizer. Thus $\ker ρ$ is normal, while $Im ρ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Sym (X)$ is the subgroup of transformations of $X$ that actually occur.

An action is faithful when $\ker ρ = {e}$ , equivalently when $ρ$ is injective. Faithfulness does not require every stabilizer $G_{x}$ to be trivial; the action on the vertices of an equilateral triangle is an example.

5具体例ぐたいれい：正三角形せいさんかくけいの対称性たいしょうせい

正三角形せいさんかくけいの頂点集合ちょうてんしゅうごうを $X = {1, 2, 3}$ とする。正三角形せいさんかくけいの回転かいてんと鏡映きょうえいの対称性たいしょうせいは、頂点集合ちょうてんしゅうごうを置換ちかんする。したがって、対称性たいしょうせいの群ぐんは $X$ に作用さようする。

頂点ちょうてん 1 の軌道きどうは ${1, 2, 3}$ である。どの頂点ちょうてんにも対称性たいしょうせいで移うつれるからである。一方いっぽう、頂点ちょうてん 1 を固定こていする対称性たいしょうせいは、恒等変換こうとうへんかんと、頂点ちょうてん 1 を通とおる軸じくについての鏡映きょうえいである。

この作用さようは忠実ちゅうじつである。三みっつの頂点ちょうてんをすべて固定こていする対称性たいしょうせいは恒等変換こうとうへんかんだけなので、作用さようの核かくは ${e}$ だからである。しかし、頂点ちょうてん 1 の固定部分群こていぶぶんぐんには鏡映きょうえいも含ふくまれる。この例れいは、「すべての頂点ちょうてんを同時どうじに固定こていする」ことと「一ひとつの頂点ちょうてんを固定こていする」ことの違ちがいを示しめしている。

5Concrete example: symmetries of an equilateral triangle

Let $X = {1, 2, 3}$ be the vertex set of an equilateral triangle. The rotational and reflection symmetries of the triangle permute the vertices. Therefore the symmetry group acts on $X$ .

The orbit of vertex 1 is ${1, 2, 3}$ , because a symmetry can move vertex 1 to any vertex. On the other hand, the symmetries that fix vertex 1 are the identity transformation and the reflection across the axis passing through vertex 1.

This action is faithful: the identity is the only symmetry that fixes all three vertices, so the kernel of the action is ${e}$ . Nevertheless, the stabilizer of vertex 1 also contains a reflection. This example distinguishes fixing every vertex simultaneously from fixing one vertex.

6何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

群作用ぐんさようでは、群ぐんの元げんを変換へんかんとして見みる。作用さようによって、集合しゅうごうの元げんは同おなじ集合しゅうごうの別べつの元げんへ移うつりうる。保存ほぞんされるのは、群ぐんの積せきと変換へんかんの合成ごうせいが対応たいおうするという構造こうぞうである。

群作用ぐんさようの考かんがえ方かたは、幾何きか、線型代数せんけいだいすう、物理ぶつり、組合くみあわせ論ろんに広ひろく現あらわれる。

6What changes and what is preserved

In a group action群作用ぐんさよう, elements of the group are viewed as transformations. Under the action, an element of the set may move to another element of the same set. What is preserved is the structure that multiplication in the group corresponds to composition of transformations.

The idea of group actions appears widely in geometry幾何きか, linear algebra線型代数せんけいだいすう, physics物理ぶつり, and combinatorics組合せ論.

7定理ていり：軌道きどう・固定部分群こていぶぶんぐん定理ていり

群ぐん $G$ が集合しゅうごう $X$ に作用さようし、 $x \in X$ とする。このとき、 $G_{x}$ の左剰余類ひだりじょうよるいの集合しゅうごうと軌道きどう $G x$ の間あいだに全単射ぜんたんしゃがあり、

| G x | = [G : G_{x}]

である。 $G_{x}$ は正規部分群せいきぶぶんぐんとは限かぎらないので、ここで $G / G_{x}$ は商群しょうぐんではなく左剰余類ひだりじょうよるいの集合しゅうごうを表あらわす。特とくに $G$ が有限ゆうげんなら

| G | = | G x | | G_{x} |

が成立せいりつする。これを軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりorbit-stabilizer theoremという。

正三角形せいさんかくけいの対称群たいしょうぐんでは、頂点ちょうてん 1 の軌道きどうは 3 個こ、固定部分群こていぶぶんぐんは 2 個この元げんを持もつ。したがって群ぐんの位数いすうは $3 \cdot 2 = 6$ である。

7Theorem: orbit-stabilizer theorem

Let a group $G$ act on a set $X$ , and let $x \in X$ . There is a bijection between the set of left cosets of $G_{x}$ and the orbit $G x$ , so

| G x | = [G : G_{x}]

The stabilizer $G_{x}$ need not be normal, so $G / G_{x}$ here denotes a set of left cosets, not a quotient group. In particular, when $G$ is finite,

| G | = | G x | | G_{x} |

This is the orbit-stabilizer theorem軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていり.

For the symmetry group of an equilateral triangle, the orbit of vertex 1 has 3 elements, and the stabilizer has 2 elements. Hence the order位数いすう of the group is $3 \cdot 2 = 6$ .

8証明しょうめい補足ほそく：軌道きどう・固定部分群こていぶぶんぐん定理ていりが成立せいりつする理由りゆう

群ぐん $G$ が集合しゅうごう $X$ に作用さようしているとし、 $x \in X$ を固定こていする。 $x$ の固定部分群こていぶぶんぐんを $G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}$ と書かく。

ここで $G / G_{x}$ は左剰余類ひだりじょうよるいの集合しゅうごうを表あらわす。写像しゃぞう

G / G_{x} \to G \cdot x, g G_{x} \mapsto g \cdot x

を考かんがえる。この写像しゃぞうが well-defined であることを確認かくにんする。もし $g G_{x} = h G_{x}$ なら $h^{- 1} g \in G_{x}$ である。したがって

(h^{- 1} g) \cdot x = x

であり、左ひだりから $h$ を作用さようさせると $g \cdot x = h \cdot x$ である。よって代表元だいひょうげんを変かえても行いき先さきは変かわらない。

逆ぎゃくに $g \cdot x = h \cdot x$ なら $(h^{- 1} g) \cdot x = x$ なので $h^{- 1} g \in G_{x}$ 、したがって $g G_{x} = h G_{x}$ であり、単射たんしゃである。また、 $G \cdot x$ の任意にんいの元げんは定義ていぎより $g \cdot x$ の形かたちなので全射ぜんしゃでもある。有限群ゆうげんぐんの場合ばあい、

| G \cdot x | = [G : G_{x}] = \frac{| G |}{| G_{x} |}

が得えられる。

8Proof supplement: why the orbit-stabilizer theorem holds

Suppose a group群ぐん $G$ acts on a set $X$ , and fix $x \in X$ . Write the stabilizer固定部分群こていぶぶんぐん of $x$ as $G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}$ .

Here $G / G_{x}$ denotes the set of left cosets. Consider the map

G / G_{x} \to G \cdot x, g G_{x} \mapsto g \cdot x .

We check that this map is well-defined. If $g G_{x} = h G_{x}$ , then $h^{- 1} g \in G_{x}$ . Therefore

(h^{- 1} g) \cdot x = x .

Acting by $h$ on the left gives $g \cdot x = h \cdot x$ . Hence changing the representative does not change the output.

Conversely, if $g \cdot x = h \cdot x$ , then $(h^{- 1} g) \cdot x = x$ , so $h^{- 1} g \in G_{x}$ and therefore $g G_{x} = h G_{x}$ . Thus the map is injective. Every element of $G \cdot x$ has the form $g \cdot x$ by definition, so the map is also surjective. For a finite group,

| G \cdot x | = [G : G_{x}] = \frac{| G |}{| G_{x} |}

follows.

9演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/group-actions-and-orbit-stabilizer.exercise.n.md

9Exercise link

data/exercise/math/abstract-algebra/group-actions-and-orbit-stabilizer.exercise.n.md

10まとめ

群作用ぐんさようは、群準同型ぐんじゅんどうけい $G \to Sym (X)$ によって群ぐんを集合しゅうごう上じょうの変換へんかんとして見みる方法ほうほうである。軌道きどうは $X$ を到達可能性とうたつかのうせいで分割ぶんかつし、固定部分群こていぶぶんぐん $G_{x}$ は $x$ を固定こていする群ぐんの元げんを集あつめる。軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりは、この二ふたつを左剰余類ひだりじょうよるいによって結むすびつける。

ここまでで、一ひとつの演算えんざんをもつ群ぐんと、その群ぐんが集合しゅうごうを動うごかす仕組しくみを学まなんだ。次つぎは、加法かほうと乗法じょうほうという二ふたつの演算えんざんをもつ環かんへ進すすむ。

10Summary

A group action views a group as transformations of a set through a homomorphism $G \to Sym (X)$ . Orbits partition $X$ by reachability, while the stabilizer $G_{x}$ collects the group elements that fix $x$ . The orbit-stabilizer theorem connects these notions through left cosets.

This completes our study of groups, which have one operation, and of how groups act on sets. We next turn to rings, which carry two operations: addition and multiplication.