導関数どうかんすうderivativeの定義ていぎと差商さしょうdifference quotient-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26description差商から導関数を求め、h で割る場面の条件と片側差商を確認する基本演習である。prerequisites導関数の定義と差商 / 極限と連続type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexercisederivative

問題もんだい 1

定義ていぎから $f (x) = x^{3}$ の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

○

$h \neq 0$ の範囲はんいで

\frac{(x + h)^{3} - x^{3}}{h} = 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}

である。したがって $h \to 0$ として $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ を得える。

$h$ で割わるため、先さきに $h \neq 0$ で整理せいりし、最後さいごに極限きょくげんlimitを取とる。

$h = 0$ を途中とちゅうで代入だいにゅうする誤あやまりがある。

$f (x) = 1 / x$ について、定義ていぎから $f^{'} (a)$ を求もとめよ。ただし $a \neq 0$ とする。

○

$a \neq 0$ かつ $a + h \neq 0$ の範囲はんいで

\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{- 1}{a (a + h)}

である。したがって

f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{- 1}{a (a + h)} = - \frac{1}{a^{2}}

である。

文字式もじしきの分母ぶんぼが現あらわれるため、 $a \neq 0$ と $a + h \neq 0$ を確認かくにんする。

$1 / (a + h) - 1 / a$ の通分つうぶんで符号ふごうを誤あやまる場合ばあいが多おおい。

$f (x) = | x |$ が $0$ で微分可能びぶんかのうdifferentiableでないことを示しめせ。

○

右側みぎがわの差商さしょうdifference quotientは $1$ 、左側ひだりがわの差商さしょうdifference quotientは $- 1$ である。よって左右さゆうの極限きょくげんlimitが一致いっちせず、微分可能びぶんかのうdifferentiableでない。

連続れんぞくcontinuousでも微分可能びぶんかのうdifferentiableとは限かぎらない。