導関数どうかんすうderivativeの定義ていぎと差商さしょうdifference quotient

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、導関数どうかんすうderivativeを公式こうしきではなく、平均変化率へいきんへんかりつaverage rate of changeの極限きょくげんlimitとして理解りかいすることである。

2 点てんを結むすぶ直線ちょくせんの傾かたむきは割線かっせんsecant lineの傾かたむきである。その 2 点てんを近ちかづけると、極限きょくげんとして接線せっせんtangent lineの傾かたむきが現あらわれる。

定義ていぎ

差商さしょうdifference quotientは

である。ここでは $$h$$h で割わるため、$$h\ne 0$$h\ne0 の範囲はんいで考かんがえる。その後あとで $$h\to 0$$h\to0 の極限きょくげんlimitを取とる。

が存在そんざいするとき、$$f$$f は $$a$$a で微分可能びぶんかのうdifferentiableであり、$$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) を $$a$$a における導関数どうかんすうderivativeまたは微分係数びぶんけいすうderivativeという。

具体例ぐたいれい

問題もんだいとして $$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 の導関数どうかんすうderivativeを定義ていぎから求もとめる。

である。この約分やくぶんでは $$h\ne 0$$h\ne0 を使用しようしている。したがって

を得える。

この例れいで確認かくにんしたことは、微分びぶんdifferentiationでは先さきに $$h\ne 0$$h\ne0 で変形へんけいし、最後さいごに $$h\to 0$$h\to0 とする順序じゅんじょが必要ひつようだという点てんである。

どこまで成なり立たつか

導関数どうかんすうderivativeが存在そんざいするには、左右さゆうからの差商さしょうdifference quotientの極限きょくげんlimitが一致いっちする必要ひつようがある。$$\left|x\right|$$|x| の $$0$$0 のように尖とがった点てんでは、連続れんぞくcontinuousでも微分可能びぶんかのうdifferentiableではない。

演習えんしゅうリンク

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