局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationと微分可能性びぶんかのうせいdifferentiability

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、微分びぶんdifferentiationを「接線せっせんの傾かたむき」だけでなく、「関数かんすうを基準点きじゅんてんの近ちかくで線型せんけいlinearな式しきへ置おき換かえる操作そうさ」として理解りかいすることである。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

曲線きょくせんを近ちかくで拡大かくだいすると、十分じゅうぶんに滑なめらかな場所ばしょでは直線ちょくせんのように見みえる。この直線ちょくせんが局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationである。

基準点きじゅんてんを $$a$$a とすると、近似式きんじしきは

である。保存ほぞんされるのは $$x=a$$x=a での値あたいと傾かたむきである。変かわるのは、曲線きょくせんの曲まがりを含ふくむ高次こうじの情報じょうほうである。

厳密げんみつな説明せつめい

$$f$$f が $$a$$a で微分可能びぶんかのうdifferentiableであることは、

と書かけ、さらに

が成立せいりつすることと同値どうちである。つまり、誤差ごさ $$r\left(h\right)$$r(h) は $$h$$h より小ちいさい次数じすうで消きえる。

具体例ぐたいれい

問題もんだいとして $$\sqrt{4.1}$$\sqrt{4.1} を近似きんじする。$$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$f(x)=\sqrt{x}、$$a=4$$a=4 とすると、$$f\left(4\right)=2$$f(4)=2、$$f^{\prime }\left(4\right)=1/4$$f'(4)=1/4 である。したがって

であり、$$x=4.1$$x=4.1 を代入だいにゅうして

を得える。この例れいは、導関数どうかんすうderivativeが近似きんじの係数けいすうとして働はたらくことを確認かくにんしている。

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