一階いっかい ODE の方法選択ほうほうせんたく-総合演習そうごうえんしゅう

欲ほしい成果せいかは一意性いちいせいなので、標準解法ひょうじゅんかいほうや数値計算すうちけいさんより先さきに、右辺うへんの連続性れんぞくせいと $$y$$y に関かんする Lipschitz 性せいを確認かくにんする。右辺うへんは連続れんぞくだが 0 の近傍きんぼうで Lipschitz ではなく、$$y=0$$y=0 のほか、任意にんいの $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$a\ge0 について $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}a$$x\le a では 0、$$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}a$$x\ge a では $$(x-a{)}^2/4$$(x-a)^2/4 とする解かいがある。したがって解かいは一意いちいでない。1 本ほんの数値列すうちれつは、他ほかの解かいがないことを証明しょうめいしない。

欲ほしい成果せいかは長時間挙動ちょうじかんきょどうなので、自律方程式じりつほうていしきの位相線いそうせんを選えらぶ。平衡解へいこうかいは $$-1,0,1$$-1,0,1 であり、$$y>1$$y>1 では $$y^{\prime }=y(1-y^2)<0$$y'=y(1-y^2)<0 である。一意性いちいせいにより解かいは $$y=1$$y=1 を横切よこぎらず、単調減少たんちょうげんしょうかつ 1 で下したから抑おさえられる。極限きょくげんは平衡値へいこうちでなければならないので、$$y\left(t\right)\to 1$$y(t)\to1 である。位相線いそうせんは収束速度しゅうそくそくどの正確せいかくな値あたいまでは与あたえない。

右辺うへんは滑なめらかなので、初期点しょきてんの近傍きんぼうに一意いちいな局所解きょくしょかいがある。ただし、この局所定理きょくしょていりだけでは 0.5 まで解かいが存在そんざいするとは限かぎらないため、最大存在区間さいだいそんざいくかんと解かいの増大ぞうだいを確認かくにんする。区間くかんが確保かくほできれば 4 次じ Runge-Kutta 法ほうなどを候補こうほとし、刻きざみを半減はんげんした値あたいとの差さ、解かいの増大ぞうだい、数値安定性すうちあんていせいを確認かくにんする。半減比較はんげんひかくだけは厳密誤差保証げんみつごさほしょうではない。

(a) は一階線型いっかいせんけいなので積分因子せきぶんいんし $$e^{2x}$$e^{2x} を用もちいる。$$(e^{2x}y{)}^{\prime }=e^x$$(e^{2x}y)'=e^x より $$y=e^{-x}$$y=e^{-x} である。(b) では、この明示式めいじしきから直ただちに $$y\to 0$$y\to0 と確認かくにんできる。一般いっぱんには、明示式めいじしきが不要ふようなら符号ふごうや評価ひょうかだけで目的もくてきを達成たっせいできることもある。この例れいでは解析解かいせきかいが短みじかく、(a) の計算けいさんを (b) の検証けんしょうにも利用りようできる。