一階線型いっかいせんけいfirst-order linearと積分因子せきぶんいんしintegrating factor-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26description一階線型微分方程式を標準形に直し、積分因子で解く基本演習。prerequisites積分法の基本 / 一階微分方程式の分類type問題演習statusactive

mathdifferential-equationsexerciselinearintegrating-factor

演習えんしゅうの方針ほうしん

一階線型いっかいせんけいfirst-order linearでは、まず標準形ひょうじゅんけい

y^{'} + P (x) y = Q (x)

に直なおす。この形かたちに直なおせると、積分因子せきぶんいんしintegrating factor $μ (x) = e^{\int P (x) d x}$ により左辺さへんを積せきの微分びぶんに変かえられる。

次つぎの微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationを解とけ。

y^{'} + 2 y = e^{x}

○

y = \frac{1}{3} e^{x} + C e^{- 2 x}

ここでは $P (x) = 2$ なので、積分因子せきぶんいんしintegrating factorは $μ = e^{2 x}$ である。両辺りょうへんに掛かけると

(e^{2 x} y)^{'} = e^{3 x}

となる。積分せきぶんして $e^{2 x} y = e^{3 x} / 3 + C$ を得える。

次つぎの式しきを標準形ひょうじゅんけいstandard formに直なおしてから解とけ。

x y^{'} + y = x^{2}, x > 0

○

y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}

$x > 0$ なので $x$ で割わっても $0$ による除算じょざんにはならない。標準形ひょうじゅんけいは

y^{'} + \frac{1}{x} y = x

であり、積分因子せきぶんいんしintegrating factorは $μ = x$ である。すると $(x y)^{'} = x^{2}$ となる。

初期条件しょきじょうけん $y (0) = 1$ を満みたす解かいを求もとめよ。

y^{'} - y = 2

○

y = 3 e^{x} - 2

同次解どうじかいhomogeneous solutionは $C e^{x}$ で、定数ていすうの特解とくかいparticular solutionは $- 2$ である。したがって $y = C e^{x} - 2$ で、初期条件しょきじょうけんから $C = 3$ である。