一階線型いっかいせんけいと積分因子せきぶんいんし

date2026-05-26description一階線型微分方程式を、積分因子を逆算して左辺を積の微分へ変換する方法として整理する。prerequisites一階微分方程式の解法診断 / 積分法の基本type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、積分因子せきぶんいんしを暗記対象あんきたいしょうではなく、左辺さへんを積せきの微分びぶんへ変換へんかんするために逆算ぎゃくさんして構成こうせいすることである。

標準形ひょうじゅんけい

一階線型微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしきFirst-order linear differential equation は

y^{'} + P (x) y = Q (x)

である。 $P, Q$ が対象区間たいしょうくかんで連続れんぞくなら、初期値問題しょきちもんだいは一意解いちいかいを持もつ。ただし、積分せきぶんが初等関数しょとうかんすうで表現ひょうげんできるとは限かぎらない。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

分離形ぶんりけいでは $x$ と $y$ を左右さゆうに分離ぶんりする。一階線型いっかいせんけいではそれが一般いっぱんには不可能ふかのうである。代かわりに、左辺さへんを

\frac{d}{d x} (μ y)

へ変換へんかんすることを目標もくひょうにする。積せきの微分びぶんを展開てんかいすると $μ y^{'} + μ^{'} y$ である。もとの式しきに $μ$ を掛かけた左辺さへん $μ y^{'} + μ P y$ と一致いっちさせるため、

μ^{'} = μ P

を要求ようきゅうする。

解法かいほうの流ながれ

\frac{μ^{'}}{μ} = P (x)

より

μ (x) = e^{\int P (x) d x}

を選択せんたくする。このとき

\frac{d}{d x} (μ y) = μ Q (x)

であるため、

μ y = \int μ Q (x) d x + C

を得える。

具体例ぐたいれい

y^{'} + y = x

では $P (x) = 1$ であるため $μ = e^{x}$ を選択せんたくする。したがって

\frac{d}{d x} (e^{x} y) = x e^{x}

であり、

e^{x} y = \int x e^{x} d x + C = (x - 1) e^{x} + C

を得える。よって

y = x - 1 + C e^{- x}

である。

分離形ぶんりけいとの比較ひかく

項目こうもく	変数分離形へんすうぶんりけい	一階線型いっかいせんけい
標準形ひょうじゅんけい	$y^{'} = f (x) g (y)$	$y^{'} + P (x) y = Q (x)$
狙ねらう変形へんけい	$d y / g (y) = f (x) d x$	$d (μ y) / d x = μ Q$
主役しゅやく	変数へんすうの分離ぶんり	積せきの微分びぶん

応用例おうようれい

RC 回路かいろの電圧でんあつ $V (t)$ は

V^{'} + \frac{1}{R C} V = \frac{1}{R C} E (t)

の形かたちで表現ひょうげんされる。左辺さへんは現在げんざいの電圧でんあつが緩和かんわする効果こうか、右辺うへんは入力電圧にゅうりょくでんあつを表あらわす。単位たんいは $1 / (R C)$ が $[s^{- 1}]$ であり、 $V^{'}$ と $V / (R C)$ はどちらも $[V / s]$ で一致いっちする。

どこまで成なり立たつか

この方法ほうほうは線型せんけいであることに依存いぞんする。 $y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{2}$ のような非線型ひせんけいはそのままでは一階線型いっかいせんけいではない。ただし Bernoulli 型がたなら置換ちかんで一階線型いっかいせんけいへ還元かんげんできる場合ばあいがある。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/一階線型と積分因子-基本演習.n.md