Bernoulli 方程式ほうていしき

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Bernoulli 方程式ほうていしきの非線型項ひせんけいこう $$y^n$$y^n を置換ちかんで吸収きゅうしゅうし、一階線型いっかいせんけいへ還元かんげんすることである。

標準形ひょうじゅんけい

Bernoulli 方程式ほうていしきBernoulli equation は

である。ただし $$n=0$$n=0 なら通常つうじょうの一階線型いっかいせんけい、$$n=1$$n=1 なら $$y^{\prime }+(P-Q)y=0$$y'+(P-Q)y=0 の線型同次せんけいどうじに退化たいかする。したがって Bernoulli 置換ちかんが本質ほんしつを持もつのは $$n\ne 0,1$$n\ne 0,1 の場合ばあいである。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

非線型項ひせんけいこうは $$y^n$$y^n という 1 種類しゅるいの次数じすうで制御せいぎょされている。そこで $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} と置換ちかんし、非線型項ひせんけいこうの次数じすうを吸収きゅうしゅうする。この置換ちかんにより、$$u$$u に関かんする一階線型いっかいせんけいが得えられる。

導出どうしゅつ

$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} とおくと

である。もとの式しきを $$y^n$$y^n で割わると

である。したがって

となり、

を得える。これは一階線型いっかいせんけいである。

具体例ぐたいれい

では $$n=2$$n=2 であるため、$$u=y^{-1}$$u=y^{-1} と置換ちかんする。$$u^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$$u'=-y^{-2}y' であり、導出どうしゅつにより

を得える。これは積分因子せきぶんいんしで処理しょりできる一階線型いっかいせんけいである。

Logistic 方程式ほうていしきとの関係かんけい

は

と整理せいりできるため Bernoulli 方程式ほうていしきの特殊例とくしゅれいでもある。一方いっぽう、自律系じりつけいとして平衡点へいこうてんと安定性あんていせいを判定はんていする方法ほうほうも有効ゆうこうである。

どこまで成なり立たつか

Bernoulli 型がたは非線型方程式ひせんけいほうていしきの一部いちぶである。非線型ひせんけいであるという情報じょうほうだけでは解法かいほうを決定けっていできない。$$y^n$$y^n が標準形ひょうじゅんけいに沿そって出現しゅつげんするかを確認かくにんする必要ひつようがある。

Bernoulli型がたで割わり算ざんを行おこなう前まえの確認かくにん

Bernoulli方程式べるぬーいほうていしきBernoulli equation

では、$y^n$y^n や $y$y で割わる変形へんけいを使つかうことがある。その場合ばあいは、先さきに $y=0$y=0 が元もとの式しきを満みたすかを確認かくにんする。割わり算ざんで $y=0$y=0 の解かいを消けす可能性かのうせいがあるからである。

また、$n=0$n=0 の場合ばあいは一階線型いっかいせんけいfirst-order linearに近ちかい形かたちになり、$n=1$n=1 の場合ばあいは最初さいしょから一階線型いっかいせんけいfirst-order linearである。したがって、$n\ne 0,1$n\ne0,1 として置換ちかんを進すすめる前まえに、$n=0$n=0 と $n=1$n=1 の特殊場合とくしゅばあいを分わける。

演習えんしゅうリンク

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