Logistic 方程式ほうていしき

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Logistic 方程式ほうていしきを単純たんじゅんな成長方程式せいちょうほうていしきではなく、指数成長しすうせいちょうと容量制約ようりょうせいやくの競合きょうごうとして解析かいせきすることである。

標準形ひょうじゅんけい

Logistic 方程式ほうていしきLogistic equation は

である。$$r>0$$r>0 は低密度ていみつどでの成長率せいちょうりつ、$$K>0$$K>0 は環境収容力かんきょうしゅうようりょくである。$$y$$y が小ちいさい場合ばあいは $$y^{\prime }\approx ry$$y'\approx ry で指数成長しすうせいちょうに近ちかく、$$y$$y が $$K$$K に近接きんせつすると成長せいちょうが抑制よくせいされる。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

Logistic 方程式ほうていしきは自律系じりつけいであるため、明示解めいじかいの計算けいさんより前まえに平衡点へいこうてんと符号ふごうを確認かくにんする。平衡点へいこうてんは $$y^{\prime }=0$$y'=0 から $$y=0,K$$y=0,K である。

位相線いそうせんによる安定性あんていせい

$$0<y<K$$0<y<K では $$y^{\prime }>0$$y'>0 であるため解かいは増加ぞうかする。$$y>K$$y>K では $$1-y/K<0$$1-y/K<0 であるため $$y^{\prime }<0$$y'<0 となり解かいは減少げんしょうする。したがって $$y=K$$y=K は安定平衡あんていへいこうであり、$$y=0$$y=0 は不安定平衡ふあんていへいこうである。

具体例ぐたいれい

では $$K=10$$K=10 である。$$y\left(0\right)=2$$y(0)=2 なら解かいは増加ぞうかして 10 に接近せっきんする。$$y\left(0\right)=15$$y(0)=15 なら解かいは減少げんしょうして 10 に接近せっきんする。したがって $$K$$K は上限じょうげんというより、長期的ちょうきてきな安定値あんていちとして理解りかいする。

別べつの解法かいほう

この方程式ほうていしきは変数分離形へんすうぶんりけいとしても処理しょりできる。また

と整理せいりすれば Bernoulli 方程式ほうていしきでもある。同おなじ方程式ほうていしきを複数ふくすうの観点かんてんから扱あつかえることが、この例れいの重要性じゅうようせいである。

明示解めいじかいの導出どうしゅつ

平衡点へいこうてんと安定性あんていせいを確認かくにんしたうえで、明示解めいじかいも導出どうしゅつできる。$$0<y<K$$0<y<K の範囲はんいで

だから、

と分離ぶんりできる。左辺さへんは部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかいにより

である。したがって

となる。ここで

だから、

を得える。両辺りょうへんに $$K$$K を掛かけ、指数化しすうかすると

である。これを $$y$$y について解とくと

を得える。ここで $$B=1/A$$B=1/A であり、初期値しょきち $$y\left(0\right)=y_0$$y(0)=y_0 を代入だいにゅうすると

である。したがって

となる。この式しきからも、$$t\to \mathrm{\infty }$$t\to\infty で $$y\left(t\right)\to K$$y(t)\to K となることが確認かくにんできる。

どこまで成なり立たつか

Logistic 方程式ほうていしきは環境収容力かんきょうしゅうようりょくが一定いっていで、成長率せいちょうりつが密度みつどだけに依存いぞんする単純化たんじゅんかモデルである。季節変動きせつへんどう、年齢構造ねんれいこうぞう、空間移動くうかんいどうを含ふくむ場合ばあいは、時間依存係数じかんいぞんけいすう、連立系れんりつけい、PDE へ拡張かくちょうされる。

演習えんしゅうリンク

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