変数分離形へんすうぶんりけいseparable equationと自律系じりつけいautonomous system-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26description変数分離形、自律系、平衡解、割り算で失われる解を確認する基本演習。prerequisites微分方程式の入口 / 積分法の基本type問題演習statusactive

mathdifferential-equationsexerciseseparableautonomous

演習えんしゅうの方針ほうしん

変数分離形へんすうぶんりけいseparable equationでは、 $y$ を含ふくむ因子いんしで割わる場面ばめんがある。このとき、その因子いんしが $0$ になる解かいを失うしなわないように、先さきに平衡解へいこうかいequilibrium solutionを確認かくにんする。

次つぎの微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationを解とけ。

\frac{d y}{d x} = x y

○

y = C e^{x^{2} / 2}

$y$ で割わるときは、 $y = 0$ を先さきに確認かくにんする。 $y = 0$ は元もとの式しきを満みたすので解かいである。 $y \neq 0$ の範囲はんいでは

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x

となり、積分せきぶんして $\log | y | = x^{2} / 2 + C$ を得える。 $C = 0$ を含ふくめて書かけば、零解れいかいも $y = C e^{x^{2} / 2}$ に含ふくまれる。

次つぎの自律型じりつがたautonomousの平衡解へいこうかいequilibrium solutionを求もとめ、 $0 < y < 1$ で $y$ が増ふえるか減へるかを判定はんていせよ。

y^{'} = y (1 - y)

○

平衡解へいこうかいは $y = 0, 1$ である。 $0 < y < 1$ では $y (1 - y) > 0$ なので $y$ は増加ぞうかする。

自律系じりつけいautonomous systemでは、横軸よこじくの位置いち $x$ ではなく、現在げんざいの値あたい $y$ が変化へんかの向むきを決きめる。これは方向場ほうこうばdirection fieldを読よむ準備じゅんびになる。

次つぎの初期値問題しょきちもんだいinitial value problemを解とけ。

y^{'} = 2 y, y (0) = 3

○

y = 3 e^{2 x}

変数分離へんすうぶんりseparation of variablesで $\log | y | = 2 x + C$ を得える。初期条件しょきじょうけん $y (0) = 3$ は $y$ が正せいである枝えだを選えらぶので、 $y = C e^{2 x}$ に $C = 3$ を入いれればよい。