変数分離形へんすうぶんりけいと自律系じりつけい

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、変数分離形へんすうぶんりけいでは式しきを積分可能せきぶんかのうな形かたちへ分解ぶんかいし、自律系じりつけいでは平衡点へいこうてんと符号ふごうから挙動きょどうを判定はんていすることである。

標準形ひょうじゅんけい

変数分離形へんすうぶんりけいSeparable equation は

に整理せいりできる一階方程式いっかいほうていしきである。

自律方程式じりつほうていしきAutonomous equation は

のように右辺うへんが独立変数どくりつへんすうを明示的めいじてきに含ふくまない方程式ほうていしきである。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

変数分離へんすうぶんりでは、微分記号びぶんきごうを利用りようして $$y$$y に関かんする因子いんしと $$x$$x に関かんする因子いんしを分離ぶんりし、両辺りょうへんを積分せきぶんする。自律系じりつけいでは、時間じかんや $$x$$x が明示的めいじてきに入はいらないため、状態じょうたい $$y$$y の値あたいだけで増減ぞうげんが決定けっていされる。したがって平衡点へいこうてんと符号表ふごうひょうが先行せんこうする。

厳密げんみつな説明せつめい

$$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0 の範囲はんいでは、

と整理せいりし、

を得える。ただし、この処理しょりでは $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 の定数解ていすうかいを除外じょがいする危険きけんがあるため、除算じょさんの前まえに平衡解へいこうかいを確認かくにんする。

具体例ぐたいれい

では $$dy/y=xdx$$dy/y=x\,dx と整理せいりできる。$$y\ne 0$$y\ne 0 として積分せきぶんすると

であり、$$y=C{e}^{x^2/2}$$y=Ce^{x^2/2} を得える。$$y=0$$y=0 も定数解ていすうかいであり、$$C=0$$C=0 に含ふくまれる。

は自律系じりつけいである。平衡点へいこうてんは $$y=0,1$$y=0,1 である。$$0<y<1$$0<y<1 では $$y^{\prime }>0$$y'>0、$$y>1$$y>1 では $$y^{\prime }<0$$y'<0 となるため、$$y=1$$y=1 は安定あんてい、$$y=0$$y=0 は不安定ふあんていである。

失敗例しっぱいれい

は $$x$$x と $$y$$y の和わであり、$$f\left(x\right)g\left(y\right)$$f(x)g(y) の積せきではない。したがって変数分離へんすうぶんりとして処理しょりしてはならない。この方程式ほうていしきは $$y^{\prime }-y=x$$y'-y=x と整理せいりして一階線型いっかいせんけいとして扱あつかう。

どこまで成なり立たつか

変数分離形へんすうぶんりけいは強力きょうりょくだが、分離ぶんりできる型かたに限定げんていされる。自律系じりつけいの符号解析ふごうかいせきは挙動きょどうを把握はあくする方法ほうほうであり、厳密げんみつな解表示かいひょうじを常つねに与あたえるわけではない。

演習えんしゅうリンク

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