一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきの分類ぶんるいと最初さいしょの判定はんてい

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきを公式集こうしきしゅうとして扱あつかうのではなく、式しきの形かたちから解法かいほうの候補こうほを判定はんていすることである。

一階いっかいであるとは、未知関数みちかんすう $$y\left(x\right)$$y(x) の導関数どうかんすうのうち、最高階さいこうかいが $$y^{\prime }$$y' であることを意味いみする。一階いっかいという情報じょうほうだけでは解法かいほうは決定けっていしない。$$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y)、$$y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$$y'+P(x)y=Q(x)、$$Mdx+Ndy=0$$Mdx+Ndy=0 では、採用さいようすべき方針ほうしんが異ことなる。

何なにを解とくページか

対象たいしょうは一階いっかいの常微分方程式じょうびぶんほうていしき

である。このページでは一般形いっぱんけいを完全かんぜんに解とくのではなく、初学段階しょがくだんかいで頻出ひんしゅつする型かたを分類ぶんるいし、最初さいしょに何なにを確認かくにんするべきかを固定こていする。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

微分方程式びぶんほうていしきでは、解法かいほうを先さきに暗記あんきすると誤用ごようが生しょうじやすい。変数分離へんすうぶんりは $$x$$x と $$y$$y を因子いんしとして分離ぶんりできる場合ばあいに自然しぜんである。一階線型いっかいせんけいは左辺さへんを積せきの微分びぶんへ変換へんかんする方針ほうしんである。完全形かんぜんけいは全微分ぜんびぶん $$d\mathrm{\Phi }$$d\Phi を復元ふくげんする方針ほうしんである。

したがって最初さいしょに実行じっこうするべきことは、積分せきぶんではなく型判定かたはんていである。型かたが判定はんていできれば、「なぜその操作そうさを行おこなうのか」も説明せつめいできる。

最初さいしょの判定手順はんていしゅじゅん

1. $$y^{\prime }=f\left(x\right)$$y'=f(x) のように右辺うへんが $$x$$x だけの関数かんすうかを確認かくにんする。該当がいとうすれば直接積分ちょくせつせきぶんが候補こうほである。
2. $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) に整理せいりできるかを確認かくにんする。該当がいとうすれば変数分離形へんすうぶんりけいである。
3. $$y^{\prime }=F\left(y\right)$$y'=F(y) なら、自律系じりつけいとして平衡解へいこうかいと符号ふごうを確認かくにんする。
4. $$y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$$y'+P(x)y=Q(x) に整理せいりできるかを確認かくにんする。該当がいとうすれば一階線型いっかいせんけいである。
5. $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 の形かたちなら、完全性かんぜんせいと領域条件りょういきじょうけんを確認かくにんする。
6. $$y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n$$y'+P(x)y=Q(x)y^n の形かたちなら Bernoulli 型がたを検討けんとうする。

この順序じゅんじょは、構造こうぞうが単純たんじゅんで変形へんけいが少すくない型かたから確認かくにんする順序じゅんじょである。複雑ふくざつな置換ちかんを先さきに試行しこうすると、本来ほんらいは単純たんじゅんな型かたを誤認ごにんし、判定はんていから逸脱いつだつする。

判定表はんていひょう

具体例ぐたいれい 1：変数分離へんすうぶんりが自然しぜんな場合ばあい

は $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) の形かたちであり、$$f\left(x\right)=x,g\left(y\right)=y$$f(x)=x,\ g(y)=y と整理せいりできる。したがって

として積分せきぶんする方針ほうしんが自然しぜんである。この操作そうさは「両辺りょうへんを適当てきとうに移動いどうする」ものではなく、$$x$$x 側がわと $$y$$y 側がわの因子いんしが分離ぶんりできることを利用りようしている。

具体例ぐたいれい 2：一階線型いっかいせんけいが自然しぜんな場合ばあい

は $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) には整理せいりしにくい。一方いっぽう、

と比較ひかくすると、$$P\left(x\right)=x,Q\left(x\right)=1$$P(x)=x,\ Q(x)=1 である。したがって変数分離へんすうぶんりではなく、積分因子せきぶんいんしにより左辺さへんを積せきの微分びぶんへ変換へんかんする。

誤用ごようしやすい例れい

は $$x$$x と $$y$$y が和わで結合けつごうしているため、$$dy/y=dx/x$$dy/y=dx/x のように分離ぶんりしてはならない。一階線型いっかいせんけいとして

に整理せいりできるため、積分因子せきぶんいんしを用もちいる型かたである。見みかけの単純たんじゅんさではなく、標準形ひょうじゅんけいへの一致いっちで判定はんていする必要ひつようがある。

どこまで成なり立たつか

このページの分類ぶんるいは初等解法しょとうかいほうの入口いりぐちである。分類表ぶんるいひょうに該当がいとうしない方程式ほうていしきでも、解かいが存在そんざいしないとは限かぎらない。存在そんざい・一意性いちいせいを定理ていりで確認かくにんし、必要ひつように応おうじて数値解法すうちかいほうや定性的解析ていせいてきかいせきへ移行いこうする。

演習えんしゅうリンク

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