微分積分びぶんせきぶんcalculusの応用おうようと発展はってん-標準演習ひょうじゅんえんしゅう

date2026-05-26description増減・極値・速度と距離・平均値・偏微分・微分方程式への橋渡しを総合的に確認する標準演習である。prerequisites微分積分の応用 / 偏微分と重積分 / 微分方程式の入口type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexerciseapplicationdifferential-equationsmultivariable

data/lecture/math/calculus/微分積分の応用-講義.n.md data/lecture/math/calculus/偏微分と重積分-講義.n.md data/lecture/math/calculus/微分方程式の入口-講義.n.md

演習方針えんしゅうほうしん

微分びぶんdifferentiationは局所変化きょくしょへんかを読よむ道具どうぐであり、積分せきぶんintegrationは累積量るいせきりょうを読よむ道具どうぐである。応用おうようでは、まず必要ひつようなのが局所きょくしょの情報じょうほうか、全体ぜんたいの累積るいせきかを判定はんていする。

問題もんだい 1

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の増減ぞうげんと極値きょくちextremumを調しらべよ。

解答例かいとうれい

○

まず

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

である。したがって $f^{'} (x) = 0$ となる点てんは $x = - 1, 1$ である。符号ふごうを確認かくにんすると、 $f^{'} (x) > 0$ は $x < - 1$ と $x > 1$ 、 $f^{'} (x) < 0$ は $- 1 < x < 1$ である。よって $x = - 1$ で極大きょくだいlocal maximum、 $x = 1$ で極小きょくしょうlocal minimumを取とる。

f (- 1) = 2, f (1) = - 2

である。

解説かいせつ

導関数どうかんすうderivativeの符号ふごうは、関数かんすうの増減ぞうげんを表あらわす。変かわるものは関数値かんすうちであり、確認かくにんしているものは接線せっせんの傾かたむきである。停留点ていりゅうてんでは符号ふごうの変化へんかまで確認かくにんする。

よくある誤あやまり

$f^{'} (x) = 0$ だけで極値きょくちextremumと判断はんだんする誤あやまりがある。極値きょくちには前後ぜんごの増減ぞうげんの変化へんかが必要ひつようである。

問題もんだい 2

速度そくど $v (t) = t - 1$ で $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 3$ を運動うんどうする点てんについて、変位へんいと移動距離いどうきょりを求もとめよ。

解答例かいとうれい

○

変位へんいは速度そくどの符号付ふごうつき積分せきぶんsigned integralなので、

\int_{0}^{3} (t - 1) d t = {[\frac{t^{2}}{2} - t]}_{0^{3}} = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}

である。移動距離いどうきょりでは速はやさ $| v (t) |$ を積分せきぶんする。 $v (t) = 0$ は $t = 1$ なので、

\int_{0}^{3} | t - 1 | d t = \int_{0}^{1} (1 - t) d t + \int_{1}^{3} (t - 1) d t = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}

である。

解説かいせつ

変位へんいは向むきを含ふくむ累積量るいせきりょうであり、移動距離いどうきょりは向むきを消けした累積量るいせきりょうである。ここでは $v (t)$ の符号ふごうが変かわる時刻じこくを境界きょうかいとして分割ぶんかつする。

よくある誤あやまり

変位へんいと移動距離いどうきょりを同一視どういつしする誤あやまりがある。速度そくどが負ふになる区間くかんがあると、両者りょうしゃは一致いっちしない。

問題もんだい 3

$f (x) = x^{2}$ の $[0, 2]$ における平均値へいきんちaverage valueを求もとめよ。

解答例かいとうれい

○

平均値へいきんちaverage valueは

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

である。したがって

\frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{1}{2} {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

である。

解説かいせつ

平均値へいきんちaverage valueは、面積めんせきを区間長くかんちょうで割わった高たかさである。ここで $b - a$ で割わっているため、区間くかんの長ながさが 0 でないこと、すなわち $a \neq b$ が必要ひつようである。

よくある誤あやまり

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ をそのまま平均値へいきんちaverage valueとする誤あやまりがある。定積分ていせきぶんdefinite integralは累積量るいせきりょうであり、平均値へいきんちaverage valueではない。

問題もんだい 4

$f (x, y) = x^{2} y + \sin y$ について、 $f_{x}$ 、 $f_{y}$ を求もとめよ。また、

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y d x d y

を計算けいさんせよ。

解答例かいとうれい

○

偏微分へんびぶんpartial derivativeでは、一方いっぽうの変数へんすうを固定こていする。したがって

f_{x} = 2 x y, f_{y} = x^{2} + \cos y

である。つぎに

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y d x d y = \int_{0}^{1} {[\frac{x^{2}}{2} y]}_{0^{2}} d y = \int_{0}^{1} 2 y d y = 1

である。

解説かいせつ

偏微分へんびぶんpartial derivativeは方向ほうこうを固定こていした局所変化きょくしょへんかである。重積分じゅうせきぶんmultiple integralは領域りょういきの小片しょうへんの寄与きよを累積るいせきする操作そうさである。この問題もんだいは、多変数たへんすうで局所きょくしょと累積るいせきを分離ぶんりする練習れんしゅうである。

よくある誤あやまり

$f_{x}$ を求もとめるときに $y$ も同時どうじに変化へんかさせる誤あやまりがある。偏微分へんびぶんpartial derivativeでは、指定していされていない変数へんすうは定数ていすうとして扱あつかう。

問題もんだい 5

微分方程式びぶんほうていしき

y^{'} = x y

を解とけ。ただし、 $y = 0$ の解かいも確認かくにんせよ。

解答例かいとうれい

○

まず $y = 0$ は確たしかに $y^{'} = 0$ を満みたすので解かいである。つぎに $y \neq 0$ の範囲はんいで変数分離へんすうぶんりする。 $y$ で割わるため、この場合分ばあいわけが必要ひつようである。

\frac{1}{y} d y = x d x

を積分せきぶんして

\ln | y | = \frac{x^{2}}{2} + C

である。したがって

y = C e^{x^{2} / 2}

を得える。 $C = 0$ とすれば $y = 0$ も含ふくまれるため、一般解いっぱんかいは

y = C e^{x^{2} / 2}

である。

解説かいせつ

変数分離へんすうぶんりseparation of variablesでは、文字式もじしきで割わる場面ばめんが生しょうじやすい。この問題もんだいでは $y$ で割わるため、 $y = 0$ の解かいを先さきに確認かくにんする。割わった後あとで $C = 0$ として回収かいしゅうできることも確認かくにんしている。

よくある誤あやまり

$d y / y = x d x$ と書かいた瞬間しゅんかんに $y = 0$ の可能性かのうせいを落おとす誤あやまりがある。文字式もじしきで割わるときは、その式しきが 0 になる場合ばあいを別途べっと確認かくにんする。

微分積分びぶんせきぶんcalculusの応用おうようと発展はってん-標準演習ひょうじゅんえんしゅう

演習方針えんしゅうほうしん

問題もんだい 1

解答例かいとうれい

解説かいせつ

よくある誤あやまり

問題もんだい 2

解答例かいとうれい

解説かいせつ

よくある誤あやまり

問題もんだい 3

解答例かいとうれい

解説かいせつ

よくある誤あやまり

問題もんだい 4

解答例かいとうれい

解説かいせつ

よくある誤あやまり

問題もんだい 5

解答例かいとうれい

解説かいせつ

よくある誤あやまり

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