微分方程式びぶんほうていしきポータル

A. 入口いりぐちと理論りろん

未知関数みちかんすう、初期条件しょきじょうけん、解かいの意味いみを整理せいりする入口いりぐちである。難易度なんいど：入門にゅうもん。理論りろん：低ひくい。計算けいさん：低ひくい。

条件じょうけんの配置はいちで問題もんだいの性質せいしつが変化へんかすることを確認かくにんする。難易度なんいど：入門にゅうもん。理論りろん：中ちゅう。計算けいさん：低ひくい。

存在そんざいと一意性いちいせいを分離ぶんりし、連続性れんぞくせいと Lipschitz 条件じょうけんの役割やくわりを確認かくにんする。難易度なんいど：標準ひょうじゅん。理論りろん：高たかい。計算けいさん：低ひくい。

連続れんぞくと Lipschitz 連続れんぞくの差異さいを一意性いちいせいの観点かんてんから確認かくにんする。難易度なんいど：標準ひょうじゅん。理論りろん：高たかい。計算けいさん：中ちゅう。

方向場ほうこうば、Euler 法ほう、誤差ごさ、数値安定性すうちあんていせいを入口いりぐちとして整理せいりする。難易度なんいど：標準ひょうじゅん。理論りろん：中ちゅう。計算けいさん：中ちゅう。

Euler 法ほうの次つぎに必要ひつようとなる高次精度こうじせいどと陰的方法いんてきほうほうを概観がいかんする。難易度なんいど：標準ひょうじゅん。理論りろん：中ちゅう。計算けいさん：中ちゅう。

初等関数しょとうかんすうで表現ひょうげんできない場合ばあいの役割分担やくわりぶんたんを整理せいりする。難易度なんいど：入門にゅうもん。理論りろん：中ちゅう。計算けいさん：低ひくい。

B. 一階方程式いっかいほうていしき

微積分側びせきぶんがわの入口いりぐちとして、一階方程式いっかいほうていしきの型判定かたはんていを整理せいりする。難易度なんいど：入門にゅうもん。理論りろん：低ひくい。計算けいさん：中ちゅう。

変数分離形へんすうぶんりけい・線型せんけい・完全かんぜん・Bernoulli 型がた・置換型ちかんがたの診断木しんだんきである。難易度なんいど：標準ひょうじゅん。理論りろん：中ちゅう。計算けいさん：中ちゅう。

右辺うへんが $$x$$x 側がわと $$y$$y 側がわに分離ぶんりできる場合ばあい、または $$y^{\prime }=F\left(y\right)$$y'=F(y) として平衡点へいこうてんを先さきに判定はんていする場合ばあいの入口いりぐちである。前提ぜんてい：積分法せきぶんほう。設問せつもん：直接ちょくせつ分離ぶんりできるか、位相線いそうせんで挙動きょどうを判定はんていできるか。

左辺さへんを積せきの微分びぶんへ変換へんかんする積分因子せきぶんいんしの講義こうぎである。前提ぜんてい：積分法せきぶんほう。設問せつもん：なぜ $${\mu }^{\prime }=P\mu$$\mu' = P\mu を要求ようきゅうするか。

$$y^{\prime }=F(y/x)$$y'=F(y/x) のように比ひ $$y/x$$y/x が主役しゅやくになる場合ばあいを扱あつかう。前提ぜんてい：微分法びぶんほうと置換ちかん。設問せつもん：$$v=y/x$$v=y/x により何なにが分離ぶんりされるか。

$$Mdx+Ndy=d\mathrm{\Phi }$$Mdx+Ndy=d\Phi と認識にんしきし、ポテンシャル関数かんすうpotential functionを復元ふくげんする方法ほうほうである。前提ぜんてい：偏微分へんびぶん。設問せつもん：完全性かんぜんせいと領域条件りょういきじょうけんを同時どうじに確認かくにんできるか。

非線型項ひせんけいこう $$y^n$$y^n を $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} で吸収きゅうしゅうし、一階線型いっかいせんけいへ還元かんげんする方法ほうほうである。前提ぜんてい：一階線型いっかいせんけい。設問せつもん：$$n=0,1$$n=0,1 の退化たいかを除外じょがいできるか。

増殖ぞうしょくと資源制約しげんせいやくを同時どうじに表現ひょうげんするモデルである。前提ぜんてい：分離形ぶんりけいと自律系じりつけい。設問せつもん：平衡解へいこうかいの安定性あんていせいを式しきの符号ふごうから判定はんていできるか。

C. 二階線型にかいせんけい

二階線型にかいせんけいの一般論いっぱんろんと定数係数ていすうけいすうの特殊性とくしゅせいを分離ぶんりする概観がいかんページである。

特性方程式とくせいほうていしきが定数係数ていすうけいすうで自然しぜんになる理由りゆうを説明せつめいする。

定数係数ていすうけいすうでの重根じゅうこん、複素根ふくそこん、非同次ひどうじの処理しょりを整理せいりする。前提ぜんてい：定数係数ていすうけいすうの基本きほん。設問せつもん：解空間かいくうかんの次元じげんを保たもつために何なにを追加ついかするか。

複素根ふくそこんを実数解じっすうかいへ変換へんかんし、外力がいりょく・共振きょうしんへ接続せつぞくする。前提ぜんてい：複素数ふくそすう、三角関数さんかくかんすう。設問せつもん：振動しんどうの減衰げんすいと振幅しんぷくを根こんから判定はんていできるか。

右辺うへんの関数族かんすうぞくが微分びぶんで有限次元ゆうげんじげんに閉とじる場合ばあいの特解構成とくかいこうせいである。前提ぜんてい：定数係数ていすうけいすう。設問せつもん：共鳴きょうしんしたときに $$x$$x を掛かける理由りゆうを説明せつめいできるか。

右辺うへんの形かたちへ強つよく依存いぞんしない一般的いっぱんてきな特解構成とくかいこうせいである。前提ぜんてい：独立解どくりつかいと Wronskian。設問せつもん：補助条件ほじょじょうけんで自由度じゆうどを整理せいりする理由りゆうを確認かくにんできるか。

対数変数たいすうへんすうで定数係数ていすうけいすうに近ちかい構造こうぞうへ変換へんかんする方程式ほうていしきである。前提ぜんてい：連鎖律れんさりつ。設問せつもん：なぜ $$x^r$$x^r を試行解しこうかいに採用さいようするか。

D. 連立系れんりつけいと安定性あんていせい

状態じょうたいをベクトルとして管理かんりし、$$e^{At}$$e^{At} で時間発展じかんはってんを表現ひょうげんする入口いりぐちである。前提ぜんてい：行列ぎょうれつと固有値こゆうち。設問せつもん：高階方程式こうかいほうていしきを一階連立系いっかいれんりつけいへ還元かんげんできるか。

固有基底こゆうきていまたは Jordan 鎖さにより、連立系れんりつけいを解釈かいしゃくする講義こうぎである。前提ぜんてい：対角化たいかくか。設問せつもん：対角化不能たいかくかふのうな場合ばあいに $$t{e}^{\lambda t}$$t e^{\lambda t} が出現しゅつげんする理由りゆうを確認かくにんできるか。

非線型系ひせんけいけいを平衡点近傍へいこうてんきんぼうで一次近似いちじきんじし、Jacobian の固有値こゆうちで局所安定性きょくしょあんていせいを判定はんていする。前提ぜんてい：多変数微分たへんすうびぶん。設問せつもん：双曲型そうきょくがたかどうかを確認かくにんできるか。

二次元連立系にじげんれんりつけいの軌道きどうを平衡点へいこうてん・固有値こゆうち・位相図いそうずで分類ぶんるいする。前提ぜんてい：線型化せんけいか。設問せつもん：結節点けっせつてん、鞍点あんてん、焦点しょうてん、中心ちゅうしんを判別はんべつできるか。

E. 変換法へんかんほうと応用おうよう

不連続入力ふれんぞくにゅうりょくや衝撃入力しょうげきにゅうりょくを線型応答せんけいおうとうとして処理しょりする準備じゅんびである。前提ぜんてい：ラプラス変換へんかん。設問せつもん：入力にゅうりょくを応答おうとうの重合じゅうごうとして表現ひょうげんできるか。

変数係数へんすうけいすうで初等解しょとうかいが困難こんなんな場合ばあいに、係数比較けいすうひかくで局所解きょくしょかいを構成こうせいする。前提ぜんてい：級数きゅうすう。設問せつもん：通常点つうじょうてんと正則特異点せいそくとくいてんを区別くべつできるか。

初期値しょきちを保持ほじしたまま微分びぶんを代数化だいすうかする変換法へんかんほうと、級数きゅうすう・モデル化かへの出口でぐちを整理せいりする。前提ぜんてい：二階線型にかいせんけい。設問せつもん：不連続入力ふれんぞくにゅうりょくを扱あつかう理由りゆうを説明せつめいできるか。

現象げんしょうの仮定かていを ODE へ翻訳ほんやくし、空間分布くうかんぶんぷが本質ほんしつになる時点じてんで PDE へ移行いこうする出口でぐちである。前提ぜんてい：保存則ほぞんそくと単位たんい。設問せつもん：状態変数じょうたいへんすうを適切てきせつに設定せっていできるか。