同次形どうじけいと置換ちかん

date2026-05-26description一階微分方程式の同次形を、比 y/x に着目する置換で変数分離形へ変換する方法として整理する。prerequisites一階微分方程式の解法診断 / 変数分離形と自律系type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、一階方程式いっかいほうていしきの同次形どうじけいを、比ひ $y / x$ を新あらたな未知関数みちかんすうにする置換ちかんで変数分離形へんすうぶんりけいへ変換へんかんすることである。

同次形どうじけいHomogeneous first-order equation は

y^{'} = F (\frac{y}{x})

に整理せいりできる一階方程式いっかいほうていしきである。ここでの同次どうじは二階線型にかいせんけいの「右辺うへんが 0」という同次どうじとは別べつの用法ようほうである。

右辺うへんが $y / x$ だけに依存いぞんするなら、絶対的ぜったいてきな位置いちではなく比ひが本質ほんしつである。したがって

v = \frac{y}{x}, y = v x

と置換ちかんする。このとき

y^{'} = v + x v^{'}

であるため、元もとの方程式ほうていしきは $v$ と $x$ の方程式ほうていしきへ変換へんかんされる。

y^{'} = 1 + \frac{y}{x}

では、 $v = y / x$ とおくと

v + x v^{'} = 1 + v

である。したがって $x v^{'} = 1$ 、すなわち

v^{'} = \frac{1}{x}

を得える。積分せきぶんにより $v = \log | x | + C$ であるため、

y = x (\log | x | + C)

である。

y^{'} = x + y

は $y / x$ の関数かんすうだけでは表現ひょうげんできない。したがって $v = y / x$ の置換ちかんは自然しぜんではない。同次形どうじけいかどうかは、式しきを $F (y / x)$ に整理せいりできるかで判定はんていする。

この方法ほうほうは $x = 0$ を含ふくまない区間くかんで扱あつかう。 $y / x$ が定義ていぎできない点てんを含ふくめると、置換ちかんの前提ぜんていが破綻はたんする。