完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしき

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 を未知みちのポテンシャル関数かんすう $$\mathrm{\Phi }(x,y)$$\Phi(x,y) の全微分ぜんびぶん $$d\mathrm{\Phi }$$d\Phi として復元ふくげんすることである。

標準形ひょうじゅんけい

完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきExact differential equation は

が

と表現ひょうげんできる場合ばあいの方程式ほうていしきである。このとき $$M={\mathrm{\Phi }}_x,N={\mathrm{\Phi }}_y$$M=\Phi_x,\ N=\Phi_y であり、解かいは $$\mathrm{\Phi }(x,y)=C$$\Phi(x,y)=C である。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

もし $$Mdx+Ndy=d\mathrm{\Phi }$$Mdx+Ndy=d\Phi なら、方程式ほうていしきは $$d\mathrm{\Phi }=0$$d\Phi=0 となる。これは曲線きょくせんに沿そって $$\mathrm{\Phi }$$\Phi が一定いっていであることを意味いみする。したがって微分方程式びぶんほうていしきをポテンシャルの等位曲線とういきょくせんへ変換へんかんできる。

完全性かんぜんせいの判定はんてい

$$M,N$$M,N が滑なめらかで、対象領域たいしょうりょういきが単連結たんれんけつなら、

により完全性かんぜんせいを判定はんていできる。単連結たんれんけつでない領域りょういきでは、この局所条件きょくしょじょうけんだけで大域的たいいきてきなポテンシャルの存在そんざいを保証ほしょうできない。

具体例ぐたいれい

では $$M=2xy+1,N=x^2$$M=2xy+1,\ N=x^2 である。$$M_y=2x,N_x=2x$$M_y=2x,\ N_x=2x より完全性かんぜんせいが成立せいりつする。

$${\mathrm{\Phi }}_x=2xy+1$$\Phi_x=2xy+1 から $$x$$x で積分せきぶんして

を得える。ここで $$h\left(y\right)$$h(y) を加くわえる理由りゆうは、$$x$$x で偏微分へんびぶんすると消去しょうきょされる任意関数にんいかんすうが残のこりうるからである。さらに $${\mathrm{\Phi }}_y=x^2+h^{\prime }\left(y\right)$$\Phi_y=x^2+h'(y) が $$N=x^2$$N=x^2 と一致いっちするため、$$h^{\prime }\left(y\right)=0$$h'(y)=0 である。したがって解かいは

である。

完全かんぜんでないが近ちかい例れい

では $$M_y=2,N_x=1$$M_y=2,\ N_x=1 であり完全かんぜんではない。このような場合ばあいでも、積分因子せきぶんいんしを掛かけることで完全化かんぜんかできる場合ばあいがある。ただし積分因子せきぶんいんしの探索たんさくは一般いっぱんには単純たんじゅんではない。

どこまで成なり立たつか

$$M_y=N_x$$M_y=N_x は局所的きょくしょてきな閉性へいせいを表あらわす。穴あなのある領域りょういきでは、閉とじていても大域的たいいきてきに完全かんぜんでない場合ばあいがある。この現象げんしょうは保存場ほぞんばや de Rham cohomology へ接続せつぞくする。

演習えんしゅうリンク

関連かんれんリンク