二階線型微分方程式にかいせんけいびぶんほうていしき-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26description一般の二階線型方程式と定数係数の場合を区別し、同次解、重解、複素根、非同次項、共鳴、Wronskian を扱う基本演習である。prerequisites一般の二階線型微分方程式の見取り図 / 二階線型定数係数微分方程式の基本type問題演習statusactive

mathdifferential-equationsexercisesecond-order-linear

data/lecture/math/differential-equations/一般の二階線型微分方程式の見取り図-講義.n.md

演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、一般いっぱんの二階線型にかいせんけいと定数係数ていすうけいすうの特殊解法とくしゅかいほうを混同こんどうしないことを重視じゅうしする。特性方程式とくせいほうていしきは、係数けいすうが定数ていすうであり、 $e^{r x}$ が微分びぶんで形かたちを保たもつ場合ばあいに自然しぜんな方法ほうほうである。

問題もんだい 1

次つぎの二ふたつを比較ひかくし、どちらが一般いっぱんの二階線型にかいせんけい方程式ほうていしきで、どちらが定数係数ていすうけいすうの特殊形とくしゅけいかを判定はんていせよ。

y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x), y^{'}' + 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

解答例かいとうれい

○

前者ぜんしゃは一般いっぱんの二階線型方程式にかいせんけいほうていしきである。後者こうしゃは定数係数ていすうけいすうの非同次二階線型方程式ひどうじにかいせんけいほうていしきである。

解説かいせつ

線型せんけいとは、 $y$ 、 $y^{'}$ 、 $y^{'}'$ に対たいして一次いちじで現あらわれることを意味いみする。定数係数ていすうけいすうとは、 $P, Q$ が定数ていすうであることを意味いみする。線型せんけいであることと定数係数ていすうけいすうであることは別べつの条件じょうけんである。

問題もんだい 2

同次方程式どうじほうていしき

y^{'}' + 3 y^{'} + 2 y = 0

を解とけ。

解答例かいとうれい

○

y = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{- 2 x}

解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきは

r^{2} + 3 r + 2 = 0

であり、 $(r + 1) (r + 2) = 0$ から $r = - 1, - 2$ を得える。異ことなる実根じっこんが二ふたつ存在そんざいするため、基本解きほんかいは $e^{- x}$ 、 $e^{- 2 x}$ である。

問題もんだい 3

重解じゅうかいが現あらわれる方程式ほうていしき

y^{'}' - 2 y^{'} + y = 0

を解とけ。

解答例かいとうれい

○

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきは $(r - 1)^{2} = 0$ であり、 $r = 1$ が重解じゅうかいである。解空間かいくうかんは二次元にじげんでなければならないので、 $e^{x}$ だけでは不足ふそくする。そこで $x e^{x}$ を第二だいにの独立解どくりつかいとして採用さいようする。

問題もんだい 4

複素根ふくそこんが現あらわれる方程式ほうていしき

y^{'}' + 4 y = 0

を実数解じっすうかいの形かたちで解とけ。

解答例かいとうれい

○

y = C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x

解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきは $r^{2} + 4 = 0$ であり、 $r = \pm 2 i$ である。Euler の公式こうしきにより、 $e^{2 i x}$ と $e^{- 2 i x}$ の実部じつぶ・虚部きょぶから $\cos 2 x$ 、 $\sin 2 x$ が実数解じっすうかいとして得えられる。

問題もんだい 5

非同次方程式ひどうじほうていしき

y^{'}' - y = x

を未定係数法みていけいすうほうで解とけ。

解答例かいとうれい

○

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - x

解説かいせつ

同次方程式どうじほうていしき $y^{'}' - y = 0$ の解かいは $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$ である。右辺うへんが一次式いちじしきなので、特解とくかいを $y_{p} = A x + B$ と仮定かていする。 $y_{p^{'}}' - y_{p} = - (A x + B)$ が $x$ に一致いっちするため、 $A = - 1$ 、 $B = 0$ である。

問題もんだい 6

共鳴きょうめいが発生はっせいする方程式ほうていしき

y^{'}' + y = \cos x

に対たいして、特解とくかいの形かたちを選えらび、一般解いっぱんかいを求もとめよ。

解答例かいとうれい

○

同次解どうじかいに $\cos x$ が含ふくまれるため、特解とくかいは $y_{p} = A x \sin x$ と置おく。計算けいさんすると $A = 1 / 2$ である。したがって $y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x + \frac{1}{2} x \sin x$ である。

解説かいせつ

右辺うへんの $\cos x$ は同次解どうじかいに含ふくまれる。そのまま $A \cos x + B \sin x$ と置おくと同次解どうじかいと重かさなり、特解とくかいを作つくれない。 $x$ を掛かける補正ほせいは、線型独立性せんけいどくりつせいを回復かいふくするためである。

問題もんだい 7

$e^{x}$ と $e^{- x}$ の Wronskian を計算けいさんし、独立性どくりつせいを判定はんていせよ。

解答例かいとうれい

○

W (e^{x}, e^{- x}) = | \begin{matrix} e^{x} & e^{- x} \\ e^{x} & - e^{- x} \end{matrix} | = - 2

である。0 でないため、2 つの関数かんすうは線型独立せんけいどくりつである。

解説かいせつ

Wronskian は、候補こうほとなる解かいが解空間かいくうかんの基底きていを構成こうせいできるかを確認かくにんする道具どうぐである。0 でない Wronskian は独立性どくりつせいを保証ほしょうする。