二階線型にかいせんけい微分方程式びぶんほうていしきの拡張かくちょう

date2026-05-26description二階線型定数係数微分方程式を、重根・複素根・非同次・共鳴へ拡張し、一般二階線型との位置づけを明確にする。prerequisites二階線型定数係数微分方程式の基本 / 一般の二階線型微分方程式の見取り図 / 複素数の基本type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、定数係数ていすうけいすうの二階線型方程式にかいせんけいほうていしきについて、特性根とくせいこんの種類しゅるいと非同次項ひどうじこうの扱あつかいを統一とういつして整理せいりすることである。

位置いちづけ

このページは定数係数ていすうけいすうでの洗練せんれんを扱あつかう。一般いっぱんの変数係数へんすうけいすうを含ふくむ二階線型理論にかいせんけいりろんは概観がいかんページで確認かくにんする。

data/lecture/math/differential-equations/一般の二階線型微分方程式の見取り図-講義.n.md

同次解どうじかいの整理せいり

a y^{'}' + b y^{'} + c y = 0

の特性方程式とくせいほうていしきは $a r^{2} + b r + c = 0$ である。根こんが $α \pm i β$ なら、実数解じっすうかいは

y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)

である。重根じゅうこん $r$ なら、解空間かいくうかんの次元じげんを 2 に保たもつため $e^{r x}$ と $x e^{r x}$ を使用しようする。

非同次ひどうじの整理せいり

L [y] = f (x)

では、線型性せんけいせいにより

y = y_{h} + y_{p}

と分解ぶんかいする。 $y_{h}$ は同次方程式どうじほうていしきの一般解いっぱんかいであり、 $y_{p}$ は特解とくかいである。右辺うへんが多項式たこうしき・指数関数しすうかんすう・三角関数さんかくかんすうの有限結合ゆうげんけつごうなら未定係数法みていけいすうほうが候補こうほになる。一般的いっぱんてきな右辺うへんなら定数変化法ていすうへんかほうを検討けんとうする。

具体例ぐたいれい

y^{'}' + 2 y^{'} + 5 y = 0

の特性根とくせいこんは $- 1 \pm 2 i$ である。したがって

y = e^{- x} (C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x)

である。

y^{'}' + y = \cos x

では右辺うへん $\cos x$ が同次解どうじかいと重複ちょうふくする。この場合ばあい、特解とくかいの候補こうほに $x$ を掛かけ、線型独立性せんけいどくりつせいを回復かいふくする。

どこまで成なり立たつか

複素根ふくそこ・重根じゅうこん・未定係数法みていけいすうほうの整理せいりは、定数係数ていすうけいすうの枠内わくないで機能きのうする。変数係数へんすうけいすうでは級数解法きゅうすうかいほうや特殊関数とくしゅかんすうに進すすむ必要ひつようがある。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/二階線型定数係数方程式-基本演習.n.md data/exercise/math/differential-equations/二階線型微分方程式-基本演習.n.md