非同次方程式ひどうじほうていしきと未定係数法みていけいすうほう

date2026-05-26description非同次線型微分方程式を、同次解と特解の和、および未定係数法の適用条件と共鳴補正から整理する。prerequisites二階線型微分方程式の拡張type講義statusactive

mathdifferential-equationsnonhomogeneouslecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、非同次線型方程式ひどうじせんけいほうていしきの一般解いっぱんかいを同次解どうじかいと特解とくかいに分解ぶんかいし、未定係数法みていけいすうほうが成立せいりつする条件じょうけんを明示めいじすることである。

標準形ひょうじゅんけい

L [y] = a y^{'}' + b y^{'} + c y = f (x)

を考かんがえる。ここでは $a, b, c$ が定数ていすうである場合ばあいを中心ちゅうしんに扱あつかう。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

線型性せんけいせいにより、 $y_{p}$ が $L [y_{p}] = f (x)$ を満みたし、 $y_{h}$ が $L [y_{h}] = 0$ を満みたすなら、

L [y_{h} + y_{p}] = f (x)

である。したがって一般解いっぱんかいは $y = y_{h} + y_{p}$ となる。

未定係数法みていけいすうほうの条件じょうけん

未定係数法みていけいすうほうMethod of undetermined coefficients は、定数係数ていすうけいすうであり、右辺うへん $f (x)$ が多項式たこうしき・指数関数しすうかんすう・正弦せいげん・余弦よげん、またはそれらの有限和ゆうげんわ・有限積ゆうげんせきである場合ばあいに特とくに有効ゆうこうである。

この条件じょうけんが必要ひつようになる理由りゆうは、これらの関数族かんすうぞくが微分びぶんで有限次元空間ゆうげんじげんくうかんの内部ないぶに留とどまるからである。たとえば $e^{2 x}$ は微分びぶんしても $e^{2 x}$ の定数倍ていすうばいである。

候補こうほは右辺うへんをそのまま模倣もほうするのではなく、微分びぶんで閉とじる関数空間かんすうくうかんを選択せんたくする。

右辺うへんの形かたち	特解候補とくかいこうほの基本形きほんけい	理由りゆう
$p_{n} (x)$	$n$ 次多項式じたこうしき	微分びぶんで次数じすうが下さがるだけである
$e^{α x}$	$A e^{α x}$	微分びぶんで定数倍ていすうばいになる
$\cos β x, \sin β x$	$A \cos β x + B \sin β x$	微分びぶんで 2 次元空間じげんくうかんの内部ないぶに留とどまる
$e^{α x} p_{n} (x)$	$e^{α x} q_{n} (x)$	指数因子しすういんしと多項式空間たこうしきくうかんが保たもたれる

具体例ぐたいれい 1：右辺うへんが多項式たこうしきの場合ばあい

y^{'}' - y = x

を考かんがえる。同次解どうじかいは $y_{h} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$ である。右辺うへんが 1 次多項式じたこうしきであるため、特解候補とくかいこうほを $y_{p} = A x + B$ と設定せっていする。この候補こうほを選択せんたくする理由りゆうは、微分びぶんしても $1, x$ の張はる有限次元空間ゆうげんじげんくうかんの内部ないぶに留とどまるためである。

y_{p^{'}}' - y_{p} = 0 - (A x + B) = - A x - B

これが $x$ に一致いっちするため、 $- A = 1$ 、 $- B = 0$ であり、 $A = - 1, B = 0$ を得える。したがって特解とくかいは $y_{p} = - x$ であり、

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - x

を得える。計算けいさんの要点ようてんは、候補こうほを当あてることではなく、候補空間こうほくうかんが微分作用びぶんさようで閉とじることを利用りようする点てんにある。

共鳴きょうしんと補正ほせい

y^{'}' + y = \cos x

では同次解どうじかいに $\cos x, \sin x$ が含ふくまれる。したがって $A \cos x + B \sin x$ を特解候補とくかいこうほにすると同次解どうじかいと重複ちょうふくし、新あらたな特解とくかいを生成せいせいできない。この場合ばあいは $x (A \cos x + B \sin x)$ とし、線型独立性せんけいどくりつせいを回復かいふくする。

実際じっさい、 $y_{p} = x (A \cos x + B \sin x)$ と設定せっていして代入だいにゅうすると、一ひとつの特解とくかいとして $y_{p} = \frac{1}{2} x \sin x$ が得えられる。 $x$ を掛かける操作そうさは暗記項目あんきこうもくではなく、同次解空間どうじかいくうかんとの重複ちょうふくを回避かいひするための線型代数的補正せんけいだいすうてきほせいである。

反例はんれいとなる状況じょうきょう

y^{'}' + y = \tan x

では $\tan x$ とその導関数どうかんすうは有限個ゆうげんこの候補関数こうほかんすうで閉とじない。したがって未定係数法みていけいすうほうは自然しぜんな方法ほうほうではない。この場合ばあいは定数変化法ていすうへんかほうなどを検討けんとうする。

さらに、係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする $y^{'}' + x y = f (x)$ のような方程式ほうていしきでは、右辺うへんが単純たんじゅんでも未定係数法みていけいすうほうの構造こうぞうは崩くずれる。未定係数法みていけいすうほうは、定数係数ていすうけいすうの線型作用素せんけいさようそが有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんを保たもつことに依存いぞんするためである。

未定係数法みていけいすうほうと定数変化法ていすうへんかほうの棲すみ分わけ

方法ほうほう	長所ちょうしょ	制約せいやく
未定係数法みていけいすうほう	計算けいさんが短みじかい	定数係数ていすうけいすうと右辺うへんの形かたちに強つよく依存いぞんする
定数変化法ていすうへんかほう	右辺うへんの形かたちに比較的ひかくてき依存いぞんしない	積分せきぶんが重おもくなりやすい

最初さいしょに未定係数法みていけいすうほうを試行しこうする理由りゆうは計算効率けいさんこうりつである。ただし条件じょうけんが外はずれた瞬間しゅんかんに、定数変化法ていすうへんかほうや基本解行列きほんかいぎょうれつへ移行いこうする判断はんだんが必要ひつようになる。

どこまで成なり立たつか

未定係数法みていけいすうほうは、定数係数線型作用素ていすうけいすうせんけいさようそが有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんを保たもつ場合ばあいに計算効率けいさんこうりつを発揮はっきする方法ほうほうである。したがって、右辺うへんの形かたちが複雑ふくざつな場合ばあい、係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする場合ばあい、または同次解どうじかいとの重複ちょうふくを補正ほせいしない場合ばあいには破綻はたんする。

ただし、未定係数法みていけいすうほうが不適ふてきであることは、非同次方程式ひどうじほうていしきが解とけないことを意味いみしない。定数変化法ていすうへんかほうは右辺うへんの形かたちへの依存いぞんが弱よわく、積分表示せきぶんひょうじとして特解とくかいを構成こうせいできる場合ばあいが多おおい。方法選択ほうほうせんたくでは、候補空間こうほくうかんが微分びぶんで閉とじるかを最初さいしょに確認かくにんする。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/非同次方程式と特解構成-標準演習.n.md