非同次ひどうじ方程式ほうていしきnonhomogeneous equationと特解とくかいparticular solution構成こうせい-標準演習ひょうじゅんえんしゅう

date2026-05-26description非同次線型微分方程式で同次解と特解を分け、未定係数法と定数変化法を使い分ける標準演習。prerequisites二階線型定数係数微分方程式 / 積分法の基本type問題演習statusactive

mathdifferential-equationsexercisenonhomogeneousvariation-of-parameters

data/lecture/math/differential-equations/非同次方程式と未定係数法-講義.n.md

演習えんしゅうの方針ほうしん

非同次ひどうじnonhomogeneousの線型せんけいlinearな式しきでは、解かいを

y = y_{h} + y_{p}

に分わける。 $y_{h}$ は同次方程式どうじほうていしきhomogeneous equationの解かい、 $y_{p}$ は右辺うへんを作つくる特解とくかいparticular solutionである。

問題もんだい 1

次つぎの微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationを未定係数法みていけいすうほうmethod of undetermined coefficientsで解とけ。

y^{'}' - y = x

解答例かいとうれい

○

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - x

解説かいせつ

同次解どうじかいhomogeneous solutionは $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$ である。右辺うへんが一次式いちじしきなので、特解とくかいparticular solutionを $y_{p} = A x + B$ と置おく。 $y_{p^{'}}' - y_{p} = - (A x + B)$ を $x$ に一致いっちさせると $A = - 1, B = 0$ である。

問題もんだい 2

共鳴きょうめいが起おこる場合ばあいを解とけ。

y^{'}' + y = \cos x

解答例かいとうれい

○

y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x + \frac{1}{2} x \sin x

解説かいせつ

$\cos x$ は同次解どうじかいhomogeneous solutionに含ふくまれるので、そのまま $A \cos x + B \sin x$ と置おくと失敗しっぱいする。 $x$ を掛かけて重かさなりを外はずすことが、共鳴きょうめいresonanceへの補正ほせいである。

問題もんだい 3

$y_{1} = e^{x}, y_{2} = e^{- x}$ について Wronskian を計算けいさんし、定数変化法ていすうへんかほうvariation of parametersで使つかえるか判定はんていせよ。

解答例かいとうれい

○

W (y_{1}, y_{2}) = | \begin{matrix} e^{x} & e^{- x} \\ e^{x} & - e^{- x} \end{matrix} | = - 2

$W (x) \neq 0$ なので、これらは基本解きほんかいfundamental solutionとして使つかえる。

解説かいせつ

Wronskian が $0$ でないことは、定数変化法ていすうへんかほうvariation of parametersで分母ぶんぼに現あらわれる量りょうが $0$ にならないことを保証ほしょうする。割わり算ざんが出でる場面ばめんなので、ここでは $W (x) \neq 0$ の確認かくにんが必要ひつようである。

講義こうぎリンク

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