定数変化法ていすうへんかほうと Wronskian

date2026-05-26description定数変化法と Wronskian を、右辺の形に強く依存しない線型非同次方程式の一般的な特解構成法として整理する。prerequisites非同次方程式と未定係数法 / ベクトル空間と基底type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、同次方程式どうじほうていしきの独立解どくりつかいを基礎きそにし、定数ていすうを関数かんすうへ変化へんかさせることで非同次方程式ひどうじほうていしきの特解とくかいを構成こうせいすることである。

位置いちづけ

未定係数法みていけいすうほうは右辺うへんの形かたちに強つよく依存いぞんする。定数変化法ていすうへんかほうは計算けいさんが重おもくなる場合ばあいがあるが、右辺うへんの形かたちに比較的ひかくてき依存いぞんしない一般法いっぱんほうである。

標準形ひょうじゅんけい

y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x)

で、同次方程式どうじほうていしきの独立解どくりつかい $y_{1}, y_{2}$ が既知きちであるとする。特解とくかいを

y_{p} = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)

と置おく。

Wronskian の役割やくわり

WronskianWronskian は

W (y_{1}, y_{2}) = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1^{'}} & y_{2^{'}} \end{matrix} | = y_{1} y_{2^{'}} - y_{1^{'}} y_{2}

である。 $W \neq 0$ は、 $y_{1}, y_{2}$ が独立解どくりつかいとして基本解系きほんかいけいを構成こうせいすることを示しめす。

解法かいほうの流ながれ

補助条件ほじょじょうけんとして

u_{1^{'}} y_{1} + u_{2^{'}} y_{2} = 0

を課かす。これにより二階微分にかいびぶんの計算けいさんを整理せいりできる。さらに方程式ほうていしきへ代入だいにゅうすると

u_{1^{'}} y_{1^{'}} + u_{2^{'}} y_{2^{'}} = R (x)

を得える。この 2 本ほんの連立方程式れんりつほうていしきを解とく過程かていで Wronskian が分母ぶんぼに現あらわれる。

具体的ぐたいてきには、

u_{1^{'}} = - \frac{y_{2} R}{W}, u_{2^{'}} = \frac{y_{1} R}{W}

を得える。補助条件ほじょじょうけんを課かす理由りゆうは、 $u_{1^{'}}', u_{2^{'}}'$ を含ふくむ複雑ふくざつな項こうを発生はっせいさせず、未知量みちりょうを $u_{1^{'}}, u_{2^{'}}$ に限定げんていするためである。定数ていすうを関数かんすうへ変化へんかさせるという発想はっそうは、そのままでは自由度じゆうどが過剰かじょうであるため、補助条件ほじょじょうけんで整理せいりする。

公式こうしきの導出どうしゅつ

上記じょうきの公式こうしきを導出どうしゅつする。まず

y_{p} = u_{1} y_{1} + u_{2} y_{2}

とおくと、

y_{p^{'}} = u_{1^{'}} y_{1} + u_{1} y_{1^{'}} + u_{2^{'}} y_{2} + u_{2} y_{2^{'}}

である。補助条件ほじょじょうけん

u_{1^{'}} y_{1} + u_{2^{'}} y_{2} = 0

を課かすと、

y_{p^{'}} = u_{1} y_{1^{'}} + u_{2} y_{2^{'}}

へ簡約かんやくされる。さらに微分びぶんして

y_{p^{'}}' = u_{1^{'}} y_{1^{'}} + u_{1} y_{1^{'}}' + u_{2^{'}} y_{2^{'}} + u_{2} y_{2^{'}}'

を得える。これを

y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x)

へ代入だいにゅうする。 $y_{1}, y_{2}$ は同次方程式どうじほうていしきの解かいであるため、

u_{1} (y_{1^{'}}' + P y_{1^{'}} + Q y_{1}) + u_{2} (y_{2^{'}}' + P y_{2^{'}} + Q y_{2})

は 0 になる。したがって残のこるのは

u_{1^{'}} y_{1^{'}} + u_{2^{'}} y_{2^{'}} = R (x)

だけである。よって $u_{1^{'}}, u_{2^{'}}$ は

\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2=0,\\ u_1'y_1'+u_2'y_2'=R(x) \end{cases}\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2=0,\\ u_1'y_1'+u_2'y_2'=R(x) \end{cases}

を満みたす。この連立一次方程式れんりついちじほうていしきの係数行列けいすうぎょうれつは

(\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1^{'}} & y_{2^{'}} \end{matrix})

であり、その行列式ぎょうれつしきが Wronskian

W = y_{1} y_{2^{'}} - y_{1^{'}} y_{2}

である。Cramer 法則ほうそくを適用てきようすると

u_{1^{'}} = \frac{| \begin{matrix} 0 & y_{2} \\ R & y_{2^{'}} \end{matrix} |}{W} = - \frac{y_{2} R}{W}

および

u_{2^{'}} = \frac{| \begin{matrix} y_{1} & 0 \\ y_{1^{'}} & R \end{matrix} |}{W} = \frac{y_{1} R}{W}

を得える。したがって、定数変化法ていすうへんかほうの公式こうしきは記憶きおくする対象たいしょうではなく、補助条件ほじょじょうけんと連立一次方程式れんりついちじほうていしきから再構成さいこうせいできる。

具体例ぐたいれい

y^{'}' + y = \tan x

では同次解どうじかいは $y_{1} = \cos x, y_{2} = \sin x$ である。右辺うへん $\tan x$ は未定係数法みていけいすうほうに適てきさないが、定数変化法ていすうへんかほうでは $R (x) = \tan x$ を用もちいて $u_{1^{'}}, u_{2^{'}}$ を求もとめられる。

ここで $W (\cos x, \sin x) = 1$ であるため、

u_{1^{'}} = - \sin x \tan x, u_{2^{'}} = \cos x \tan x = \sin x

となる。したがって $u_{2} = - \cos x$ であり、 $u_{1}$ は $- \int \sin x \tan x d x$ で表現ひょうげんされる。積分せきぶんは未定係数法みていけいすうほうより重おもくなるが、右辺うへんの関数形かんすうけいに強つよく依存いぞんしない点てんが利点りてんである。

一次連立系いちじれんりつけいとの対応たいおう

連立系れんりつけい $x^{'} = A (x) x + g (x)$ では、基本解行列きほんかいぎょうれつ $Φ (x)$ を用もちいて

x_{p} = Φ (x) \int Φ (x)^{- 1} g (x) d x

と表現ひょうげんできる。これは定数変化法ていすうへんかほうの行列版ぎょうれつばんである。

どこまで成なり立たつか

定数変化法ていすうへんかほうは理論的りろんてきに広ひろいが、積分せきぶんが初等関数しょとうかんすうで表現ひょうげんできるとは限かぎらない。また、基本解きほんかい $y_{1}, y_{2}$ を事前じぜんに得える必要ひつようがある。

さらに、Wronskian が 0 になる点てんを含ふくむ区間くかんでは、この公式こうしきをそのまま使用しようできない。基本解系きほんかいけいを固定こていする区間くかん、係数けいすうの連続性れんぞくせい、標準形ひょうじゅんけいへの変形へんけいを確認かくにんしてから適用てきようする必要ひつようがある。

Wronskian で割わるときの条件確認じょうけんかくにん

定数変化法ていすうへんかほうvariation of parametersでは、係数けいすうを求もとめる途中とちゅうで Wronskian

W (y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{2^{'}} - y_{1^{'}} y_{2}

を分母ぶんぼにもつ式しきが現あらわれる。したがって、この方法ほうほうをその区間くかんで使つかうには、少すくなくともその区間くかんで

W (x) \neq 0

であることを確認かくにんする。割わり算ざんが実際じっさいに出でる場面ばめんなので、この条件じょうけんは省略しょうりゃくしない。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/非同次方程式と特解構成-標準演習.n.md