二階線型にかいせんけいsecond-order linear定数係数ていすうけいすうconstant coefficient方程式ほうていしき-基本演習きほんえんしゅう

解答例かいとうれい

解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは $$r^2-5r+6=0$$r^2-5r+6=0 である。$$r=2,3$$r=2,3 は異ことなる実根じっこんなので、$$e^{2x},e^{3x}$$e^{2x},e^{3x} が独立どくりつな基本解きほんかいになる。

解答例かいとうれい

解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは $$(r-2{)}^2=0$$(r-2)^2=0 である。$$e^{2x}$$e^{2x} だけでは二次元にじげんの解空間かいくうかんsolution spaceを埋うめられないので、$$x{e}^{2x}$$xe^{2x} を第だい2の基本解きほんかいとして加くわえる。

解答例かいとうれい

解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは $$r^2+4=0$$r^2+4=0 なので $$r=\pm 2i$$r=\pm2i である。複素指数関数ふくそしすうかんすうcomplex exponentialから実部じつぶと虚部きょぶを取とると、$$\cos 2x$$\cos 2x と $$\sin 2x$$\sin 2x が得えられる。