二階線型定数係数にかいせんけいていすうけいすう微分方程式びぶんほうていしきの基本きほん

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、二階線型にかいせんけいのうち係数けいすうが定数ていすうである場合ばあいに限定げんていし、特性方程式とくせいほうていしきが自然しぜんに成立せいりつする理由りゆうを確認かくにんすることである。

このページでは $$a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy=f\left(x\right)$$ay''+by'+cy=f(x) のうち、$$a,b,c$$a,b,c が定数ていすうである場合ばあいを扱あつかう。 一般いっぱんの二階線型にかいせんけい $$y^{\prime }\text{'}+P\left(x\right)y^{\prime }+Q\left(x\right)y=R\left(x\right)$$y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x) は別べつの概観がいかんページで扱あつかう。

何なにを解とくページか

同次どうじの標準形ひょうじゅんけいは

である。非同次ひどうじの場合ばあいは $$a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy=f\left(x\right)$$ay''+by'+cy=f(x) であり、同次解どうじかいと特解とくかいに分解ぶんかいして扱あつかう。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

定数係数ていすうけいすうでは、$$e^{rx}$$e^{rx} を微分びぶんしても $$r{e}^{rx}$$r e^{rx}、$$r^2{e}^{rx}$$r^2e^{rx} となり、同おなじ関数かんすう $$e^{rx}$$e^{rx} が因子いんしとして残のこる。したがって微分方程式びぶんほうていしきが $$r$$r の代数方程式だいすうほうていしきへ変換へんかんされる。この性質せいしつは係数けいすうが定数ていすうであることに依存いぞんする。

厳密げんみつな導出どうしゅつ

$$y=e^{rx}$$y=e^{rx} と仮定かていすると

である。これを $$a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy=0$$ay''+by'+cy=0 に代入だいにゅうすると

である。$$e^{rx}\ne 0$$e^{rx}\ne 0 より

を得える。これが特性方程式とくせいほうていしきCharacteristic equation である。

根こんの場合分ばあいわけ

具体例ぐたいれい

では特性方程式とくせいほうていしきは $$r^2-3r+2=0$$r^2-3r+2=0 である。$$(r-1)(r-2)=0$$(r-1)(r-2)=0 より $$r=1,2$$r=1,2 を得える。したがって

である。

重根じゅうこんの例れいとして

では $$(r-1{)}^2=0$$(r-1)^2=0 である。独立どくりつな 2 解かいを構成こうせいするため、

となる。

複素根ふくそこんの例れいとして

を考察こうさつする。特性方程式とくせいほうていしきは $$r^2+4=0$$r^2+4=0 であり、$$r=\pm 2i$$r=\pm 2i を得える。複素指数関数ふくそしすうかんすうでは $$e^{2ix},e^{-2ix}$$e^{2ix},e^{-2ix} が解かいであるが、実係数じつけいすうの方程式ほうていしきでは Euler 公式こうしきにより

と表現ひょうげんできる。複素根ふくそこんは失敗しっぱいではなく、振動解しんどうかいが出現しゅつげんする信号しんごうである。

非同次ひどうじへの接続せつぞく

では、まず対応たいおうする同次方程式どうじほうていしき $$a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy=0$$ay''+by'+cy=0 の一般解いっぱんかい $$y_h$$y_h を求もとめる。そのうえで $$L\left[y_p\right]=f\left(x\right)$$L[y_p]=f(x) を満みたす特解とくかい $$y_p$$y_p を 1 つ構成こうせいし、$$y=y_h+y_p$$y=y_h+y_p と合成ごうせいする。未定係数法みていけいすうほうや定数変化法ていすうへんかほうは、この特解構成とくかいこうせいを担当たんとうする別べつの方法ほうほうである。

どこまで成なり立たつか

特性方程式法とくせいほうていしきほうは定数係数ていすうけいすうの線型方程式せんけいほうていしきに強つよく依存いぞんする。$$y^{\prime }\text{'}+x{y}^{\prime }+y=0$$y''+x y'+y=0 のような変数係数へんすうけいすうでは、$$e^{rx}$$e^{rx} を代入だいにゅうしても代数方程式だいすうほうていしきへ還元かんげんできない。級数解法きゅうすうかいほうや特殊関数とくしゅかんすうが必要ひつようになることがある。

演習えんしゅうリンク

次つぎに参照さんしょうするページ