一般いっぱんの二階線型にかいせんけい微分方程式びぶんほうていしきの見取みとり図ず

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、二階線型にかいせんけいという語ごが定数係数ていすうけいすうを意味いみしないことを明確めいかくにし、一般論いっぱんろんと特殊解法とくしゅかいほうを分離ぶんりすることである。

何なにを解とくページか

一般いっぱんの二階線型にかいせんけいの標準形ひょうじゅんけいは

である。$$P\left(x\right),Q\left(x\right),R\left(x\right)$$P(x),Q(x),R(x) は対象区間たいしょうくかんで連続れんぞくと仮定かていする。この条件じょうけんのもとで、初期値しょきち $$y\left(x_0\right)=a,y^{\prime }\left(x_0\right)=b$$y(x_0)=a,\ y'(x_0)=b を指定していすると、局所きょくしょどころか対象区間上たいしょうくかんじょうで一意解いちいかいが存在そんざいする。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

特性方程式とくせいほうていしきは二階線型にかいせんけいの一般解法いっぱんかいほうではない。係数けいすうが定数ていすうであり、$$e^{rx}$$e^{rx} の微分びぶんで形かたちが保存ほぞんされる場合ばあいに成立せいりつする特殊法とくしゅほうである。この区別くべつを先さきに固定こていしないと、変数係数へんすうけいすうの方程式ほうていしきに誤あやまって特性方程式とくせいほうていしきを適用てきようする。

線型理論せんけいりろんの骨格こっかく

同次方程式どうじほうていしき

の解集合かいしゅうごうは、加法かほうと定数倍ていすうばいで閉とじるため 2 次元じげんの線型空間せんけいくうかんになる。したがって独立どくりつな 2 解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 が得えられれば、

が同次解どうじかいの一般形いっぱんけいである。

非同次方程式ひどうじほうていしきでは、特解とくかい $$y_p$$y_p を 1 つ得えれば

が一般解いっぱんかいである。この分解ぶんかいは線型性せんけいせいに由来ゆらいする。

一次連立系いちじれんりつけいとしての観点かんてん

一般いっぱんの二階線型にかいせんけいは、一階連立系いっかいれんりつけいへ変換へんかんすると理論りろんの構造こうぞうが明確めいかくになる。$$x_1=y,x_2=y^{\prime }$$x_1=y,\ x_2=y' と設定せっていすると、

を得える。係数けいすうが連続れんぞくなら、この一階連立系いっかいれんりつけいの標準理論ひょうじゅんりろんにより初期値しょきち $$y\left(x_0\right),y^{\prime }\left(x_0\right)$$y(x_0),y'(x_0) から解かいが一意いちいに決定けっていされる。二階にかいで初期条件しょきじょうけんが 2 本ほん必要ひつようになる理由りゆうは、状態じょうたいが $$y$$y と $$y^{\prime }$$y' の 2 成分せいぶんを持もつからである。

この観点かんてんは、定数係数ていすうけいすうの特性方程式とくせいほうていしきと連立系れんりつけいの固有値こゆうちが同おなじ情報じょうほうを表あらわしていることも説明せつめいする。定数係数ていすうけいすうなら行列ぎょうれつが定数ていすうとなり、固有値こゆうちにより指数関数しすうかんすうの時間発展じかんはってんへ分解ぶんかいできる。

Wronskian と独立性どくりつせい

独立どくりつな 2 解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 を確認かくにんするとき、Wronskian

を用もちいる。$$W\left(x_0\right)\ne 0$$W(x_0)\ne 0 なら、係数けいすうが連続れんぞくな区間くかんでは $$y_1,y_2$$y_1,y_2 は基本解系きほんかいけいを構成こうせいする。Wronskian は、二階方程式にかいほうていしきの解空間かいくうかんが 2 次元じげんであることを、線型代数せんけいだいすうの独立性どくりつせいとして確認かくにんする道具どうぐである。

方法ほうほうの地図ちず

具体例ぐたいれい

は二階線型にかいせんけいであるが、定数係数ていすうけいすうではない。したがって $$r^2+xr+1=0$$r^2+xr+1=0 のような特性方程式とくせいほうていしきを作成さくせいしてはならない。$$x$$x が残存ざんぞんするため、$$e^{rx}$$e^{rx} の代入だいにゅうは代数方程式だいすうほうていしきを生成せいせいしない。

一方いっぽう、$$y^{\prime }\text{'}-3y^{\prime }+2y=0$$y''-3y'+2y=0 では係数けいすうが定数ていすうである。$$e^{rx}$$e^{rx} を代入だいにゅうすると $$r^2-3r+2=0$$r^2-3r+2=0 を得える。この対比たいひにより、特性方程式法とくせいほうていしきほうの本質ほんしつが二階にかいではなく定数係数ていすうけいすうにあることが判明はんめいする。

どこまで成なり立たつか

ここでの一般論いっぱんろんは線型せんけいであり、係数けいすうが連続れんぞくである場合ばあいに基礎きそを置おく。非線型ひせんけいの二階方程式にかいほうていしきでは、解空間かいくうかんの線型構造せんけいこうぞうも重合じゅうごうの原理げんりも一般いっぱんには成立せいりつしない。

演習えんしゅうリンク

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