一階連立系いっかいれんりつけいと行列指数関数ぎょうれつしすうかんすう

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、連立線型微分方程式れんりつせんけいびぶんほうていしき $$x^{\prime }=A\mathit{x}$$\boldsymbol{x}'=A\boldsymbol{x} を、行列ぎょうれつによる状態じょうたいの時間発展じかんはってんとして理解りかいすることである。

標準形ひょうじゅんけい

対象たいしょうは

である。ここで $$A$$A は定数行列ていすうぎょうれつである。

行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうMatrix exponential は

で定義ていぎされる。この級数きゅうすうは正方行列せいほうぎょうれつに対たいして意味いみを持もつ。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

一次元いちじげんの $$x^{\prime }=\lambda x$$x'=\lambda x の解かいは $$x\left(t\right)=e^{\lambda t}x\left(0\right)$$x(t)=e^{\lambda t}x(0) である。行列系ぎょうれつけいでは、状態じょうたいの各成分かくせいぶんが相互作用そうごさようするため、数すう $$\lambda$$\lambda の代かわりに行列ぎょうれつ $$A$$A を用もちいる。したがって時間発展じかんはってんは $$e^{At}$$e^{At} で表現ひょうげんされる。

この方針ほうしんの利点りてんは、解かいを成分せいぶんごとに個別こべつに追跡ついせきするのではなく、状態空間じょうたいくうかんの 1 点てんが行列ぎょうれつにより連続的れんぞくてきに移動いどうする問題もんだいとして扱あつかえる点てんにある。とくに固有値こゆうちは増減ぞうげんの速はやさを、固有こゆうベクトルは増減ぞうげんが起おこる方向ほうこうを表あらわす。

厳密げんみつな説明せつめい

とおく。行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうは $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}ddt{e}^{At}=A{e}^{At}$$\dfrac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At} を満みたすため、

となる。さらに $$e^{A0}=I$$e^{A0}=I であるため、初期条件しょきじょうけんも満みたす。

対角化たいかくかできる場合ばあい

$$A=PD{P}^{-1}$$A=PDP^{-1} と対角化たいかくかできるなら、

である。$$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) なら $$e^{Dt}=\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{{\lambda }_{n}t})$$e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_nt}) である。固有方向こゆうほうこうごとに独立どくりつした指数成長しすうせいちょうや減衰げんすいへ分解ぶんかいできる。

具体例ぐたいれい 1：対角行列たいかくぎょうれつの場合ばあい

を考かんがえる。この場合ばあいは成分せいぶんが相互作用そうごさようしないため、

である。したがって

となり、

を得える。第一成分だいいちせいぶんは指数成長しすうせいちょうし、第二成分だいにせいぶんは指数減衰しすうげんすいする。この例れいは、固有値こゆうちの符号ふごうが時間発展じかんはってんを直接ちょくせつ支配しはいすることを示しめす。

具体例ぐたいれい 2：回転かいてんを表あらわす場合ばあい

では、

となる。したがって初期状態しょきじょうたい $$x_0$$\boldsymbol{x}_0 は、長ながさを保たもったまま角速度かくそくど $$\omega$$\omega で回転かいてんする。

この例れいでは固有値こゆうちが $$\pm i\omega$$\pm i\omega であり、実部じつぶが 0 である。指数的しすうてきな増減ぞうげんはなく、虚部きょぶが周期運動しゅうきうんどうを生成せいせいする。この観点かんてんが相平面そうへいめんと安定性あんていせいの分類ぶんるいへ接続せつぞくする。

二階方程式にかいほうていしきを一階連立いっかいれんりつへ還元かんげんする

に対たいして、$$x_1=y,x_2=y^{\prime }$$x_1=y,\ x_2=y' と置おくと

である。したがって高階線型方程式こうかいせんけいほうていしきも一階連立系いっかいれんりつけいとして統一とういつできる。この変換へんかんにより、固有値こゆうちと安定性あんていせいの議論ぎろんが利用りようできる。

例れいとして $$y^{\prime }\text{'}+3y^{\prime }+2y=0$$y''+3y'+2y=0 では、

となる。この行列ぎょうれつの固有値こゆうちは $$-1,-2$$-1,-2 であるため、対応たいおうする二階方程式にかいほうていしきの解かいは $$e^{-t}$$e^{-t} と $$e^{-2t}$$e^{-2t} の線型結合せんけいけつごうで表現ひょうげんされる。これは特性方程式とくせいほうていしきで得える結果けっかと一致いっちする。一階連立系いっかいれんりつけいへの還元かんげんは、二階方程式にかいほうていしきの解法かいほうを線型代数せんけいだいすうの言語げんごに翻訳ほんやくする操作そうさである。

注意ちゅうい

のように係数行列けいすうぎょうれつが $$t$$t に依存いぞんする場合ばあい、単純たんじゅんに $$e^{\int A\left(t\right)dt}$$e^{\int A(t)\,dt} と表記ひょうきできるとは限かぎらない。異ことなる時刻じこくの行列ぎょうれつが可換かかんでない場合ばあいがあるからである。この場合ばあいは基本解行列きほんかいぎょうれつや時間順序じかんじゅんじょを含ふくむ議論ぎろんが必要ひつようになる。

どこまで成なり立たつか

このページの公式こうしき $$\mathit{x}\left(t\right)=e^{At}{x}_0$$\boldsymbol{x}(t)=e^{At}\boldsymbol{x}_0 は、$$A$$A が定数行列ていすうぎょうれつである同次線型系どうじせんけいけいに対たいする基本形きほんけいである。非同次系ひどうじけい

では、同次解どうじかいだけでは不十分ふじゅうぶんであり、

のような畳たたみ込こみ型がたの項こうが現あらわれる。また、非線型系ひせんけいけいでは行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうだけで全体ぜんたいを解決かいけつすることはできない。ただし平衡点へいこうてんの近傍きんぼうでは Jacobian による線型化せんけいかを通つうじて、このページの理論りろんが局所解析きょくしょかいせきに作用さようする。

演習えんしゅうリンク

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