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連立系と安定性-基本演習md 5ae0754
exercise/math/differential-equations/連立系と安定性-基本演習.n.md
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連立系と安定性-基本演習
mathdifferential-equationsexercisesystemsstability
演習方針
この演習では、連立微分方程式を行列で表現し、固有値から時間発展と安定性を判定する。相平面は図だけで判断する対象ではなく、平衡点、線型化、固有値を対応させて確認する対象である。
問題 1
連立系
x'=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-2
\end{pmatrix}x,\qquad
x(0)=
\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}
を解け。
解答例
○
x(t)=
\begin{pmatrix}
3e^t\\
4e^{-2t}
\end{pmatrix}
解説
対角行列では、各成分が独立した一階方程式になる。第一成分は増加し、第二成分は減衰する。固有値の実部が符号を決める。
問題 2
連立系
x'=
\begin{pmatrix}
0&-3\\
3&0
\end{pmatrix}x,\qquad
x(0)=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
を解き、相平面での運動を述べよ。
解答例
○
x(t)=
\begin{pmatrix}
\cos 3t\\
\sin 3t
\end{pmatrix}
である。原点を中心とする円運動である。
解説
係数行列は回転を生成する行列である。固有値は \pm 3i であり、実部が 0 なので指数的な増加も減衰も発生しない。中心の代表例である。
問題 3
二階線型方程式
y''+3y'+2y=0
を一階連立系へ変換し、固有値を求めよ。
解答例
○
x_1=y、x_2=y' とおくと、x_1'=x_2、x_2'=-2x_1-3x_2 である。係数行列の固有値は -1,-2 である。
解説
高階方程式は、状態変数を導入すると一階連立系へ変換できる。特性方程式と係数行列の固有値は対応する。
問題 4
線型系
x'=
\begin{pmatrix}
2&0\\
0&-1
\end{pmatrix}x
の平衡点の型を判定せよ。
解答例
○
原点は鞍点であり、不安定である。
解説
固有値は 2 と -1 である。一方の方向では解が増加し、他方の方向では減衰する。符号が混在する場合、原点は鞍点である。
問題 5
線型系
x'=
\begin{pmatrix}
-1&-2\\
2&-1
\end{pmatrix}x
の平衡点を分類せよ。
解答例
○
固有値は -1\pm 2i である。原点は安定焦点である。
解説
複素固有値の虚部は回転を表し、実部は増減を表す。実部が負なので軌道は回転しながら原点へ接近する。
問題 6
非線型系
x'=x-x^2,\qquad y'=-y
の平衡点を求め、線型化により安定性を判定せよ。
解答例
○
平衡点は (0,0) と (1,0) である。Jacobian 行列は \operatorname{diag}(1-2x,-1) である。(0,0) では固有値 1,-1 なので鞍点で不安定である。(1,0) では固有値 -1,-1 なので局所漸近安定である。
解説
非線型系では、平衡点近傍で一次近似を確認する。Jacobian 行列の固有値が零の実部を含まない場合、線型化は局所挙動をよく反映する。
問題 7
線型系
x'=
\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}x
に対して、固有値だけで漸近安定性を主張できない理由を述べよ。
解答例
○
固有値は \pm i であり、実部が 0 である。解は原点を中心に回転し、原点へ接近しない。したがって漸近安定ではない。
解説
実部が負なら減衰、正なら増大を判定しやすい。しかし実部が 0 の場合は境界的であり、中心、非線型項、保存量の確認が必要になる。