厳密な説明
1. 方程式への翻訳
固有ベクトルの定義は、非零ベクトル v\ne 0 を含めて
Av=\lambda v\quad (v\ne 0)
である。これは
(A-\lambda I)v=0\quad (v\ne 0)
と同値である。ここまでは固有値の定義を移項しただけであり、まだ行列式は登場していない。
次に、同次方程式 (A-\lambda I)x=0 が非自明解を持つ条件を用いる。A-\lambda I が可逆なら解は x=0 のみであるため、非自明解が存在することは
\det(A-\lambda I)=0
と同値である。つまり、定義と特性方程式は次の 2 段階で接続される。
Av=\lambda v\ (v\ne0)\iff (A-\lambda I)v=0\ (v\ne0)
(A-\lambda I)x=0\text{ が非自明解を持つ}\iff \det(A-\lambda I)=0
2. 特性多項式の性質
n \times n 行列 A の特性多項式は n 次であり：
\det(A - \lambda I)
=
(-1)^n \lambda^n
+
(-1)^{n-1}(\mathrm{tr}\, A)\lambda^{n-1}
+
\cdots
+
\det A
重要な関係：
\mathrm{tr}\, A = \sum_{i=1}^n \lambda_i,
\qquad
\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i
（\lambda_1, \ldots, \lambda_n は重複を込みにした固有値全体）
ここでいう固有値全体とは、特性多項式が考えている体の上で一次式に分解する場合の根を、代数的重複度を込めて数えたものである。実行列でも実数の範囲で固有値が足りないことがあるため、必要に応じて複素数体まで拡張して読む。
応用：\det A = 0 \iff 0 が固有値（A が特異行列）。
3. 重複度の二種類
代数的重複度（AM）：固有値 \lambda_0 が特性多項式の根として現れる回数。
幾何的重複度（GM）：固有空間
E_{\lambda_0}=\ker(A-\lambda_0 I)
の次元である。A が n\times n 行列なら、階数・退化次数定理により
\mathrm{GM}(\lambda_0)=\dim\ker(A-\lambda_0 I)
=n-\operatorname{rank}(A-\lambda_0 I)
である。
固有値 \lambda_0 について、常に
1\le \mathrm{GM}(\lambda_0)\le \mathrm{AM}(\lambda_0)
である。また、特性多項式が対象の体の上で一次式に分解している場合、すべての固有値について幾何的重複度と代数的重複度が一致することは、対角化可能性と同値である。
\forall \lambda\in\operatorname{Spec}(A),\quad
\mathrm{GM}(\lambda)=\mathrm{AM}(\lambda)
\iff
A\ \text{is diagonalizable}
例（対角化不可能な場合）：A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} は \lambda = 1（AM = 2）だが GM = 1。
4. 具体例
A = \begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}
特性多項式：\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(2-\lambda) = 0 より \lambda = 2, 3。
\lambda = 3 に対して (A - 3I)v = 0 → v \propto \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
\lambda = 2 に対して (A - 2I)v = 0 → v \propto \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
5. Cayley-Hamilton の定理
行列 A は自分自身の特性多項式を満たす：
特性多項式を q(t)=\det(tI-A) と置くと、
q(A)=0
である。ここで 0 は零行列を表す。記号として p(\lambda)=\det(A-\lambda I) を用いる流儀では最高次係数の符号が変わるが、Cayley-Hamilton の内容は「行列が自分自身の特性多項式を満たす」という命題である。
例：A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} の特性多項式は \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc)。Cayley-Hamilton より A^2 - (a+d)A + (ad-bc)I = 0。
応用：A^{-1} を特性多項式で表現する（\det A \neq 0 のとき）。
6. 連立微分方程式への応用
\boldsymbol{x}' = A\boldsymbol{x} の解は \boldsymbol{x}(t) = e^{At}\boldsymbol{x}(0)。A が対角化可能で A = PDP^{-1} なら：
e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}, \qquad e^{Dt} = \begin{pmatrix}e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}\end{pmatrix}
固有値の実部が安定性を決める（負 → 安定、正 → 不安定）。
最終形
\boxed{Av=\lambda v\ (v\ne0)\iff (A-\lambda I)v=0\ (v\ne0)}
\boxed{(A-\lambda I)x=0\text{ が非自明解を持つ}\iff \det(A-\lambda I)=0}
\boxed{\mathrm{tr}\, A = \sum \lambda_i, \quad \det A = \prod \lambda_i}
\boxed{p(A) = 0 \quad \text{（Cayley-Hamilton）}}
\boxed{\mathrm{GM}(\lambda)=\dim\ker(A-\lambda I),\qquad 1\le \mathrm{GM}(\lambda)\le \mathrm{AM}(\lambda)}