対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixと直交対角化ちょっこうたいかくか

date2026-05-25description対称行列とエルミート行列を、内積と両立する線型変換として導入し、スペクトル定理と直交・ユニタリ対角化の意味を整理する講義である。prerequisites固有値と固有ベクトル / 対角化の基本 / 内積空間の基本type講義statusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、固有値こゆうちeigenvalueだけでなく固有こゆうベクトルeigenvectorの直交性ちょっこうせいまで保証ほしょうする特別とくべつな行列ぎょうれつmatrixであるということである。

一般いっぱんの行列ぎょうれつmatrixは、対角化たいかくかdiagonalizationできるとは限かぎらない。対角化たいかくかdiagonalizationできる場合ばあいであっても、基底きていbasisを構成こうせいする固有こゆうベクトルeigenvectorが互たがいに直交ちょっこうorthogonalするとは限かぎらない。これに対たいして、実対称行列じつたいしょうぎょうれつは正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisによって対角化たいかくかdiagonalizationできる。この事実じじつが有限次元ゆうげんじげんのスペクトル定理ていりSpectral theoremである。

用語ようごと定義ていぎ

対称行列たいしょうぎょうれつSymmetric matrix とは、実正方行列じつせいほうぎょうれつ $A$ が

A^{T} = A

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。

エルミート行列ぎょうれつHermitian matrix とは、複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつ $A$ が

A^{*} = A

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。ただし $A^{*}$ は共役転置きょうやくてんちである。

ユニタリ行列ぎょうれつUnitary matrix とは、複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつ $U$ が

U^{*} U = U U^{*} = I

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。これは複素ふくそcomplex内積ないせきinner product、長ながさ、直交ちょっこうorthogonalを保存ほぞんする行列ぎょうれつmatrixである。

正規行列せいきぎょうれつNormal matrix とは、複素正方行列ふくそせいほうぎょうれつ $A$ が

A^{*} A = A A^{*}

を満みたす行列ぎょうれつmatrixである。エルミート行列ぎょうれつmatrixとユニタリ行列ぎょうれつmatrixは正規行列せいきぎょうれつの代表例だいひょうれいである。

直交対角化ちょっこうたいかくかOrthogonal diagonalization とは、実行列じつぎょうれつ $A$ を直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix $Q$ と対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrix $D$ によって

A = Q D Q^{T}

と表示ひょうじすることである。複素ふくそcomplexの場合ばあいは、ユニタリ行列ぎょうれつmatrix $U$ により

A = U D U^{*}

と表示ひょうじする。

方針ほうしん

方針ほうしんは二段階にだんかいである。まず、対称性たいしょうせいが内積ないせきinner productの中なかで

⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩

を意味いみすることを確認かくにんする。つぎに、この関係かんけいから、異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする固有こゆうベクトルeigenvectorが直交ちょっこうorthogonalすることを導出どうしゅつする。

data/lecture/math/linear-algebra/内積空間の基本-講義.n.md data/lecture/math/linear-algebra/複素内積とユニタリ行列-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、入力方向にゅうりょくほうこうと出力方向しゅつりょくほうこうの寄与きよを内積ないせきinner productで測定そくていしたとき、左右さゆうを交換こうかんしても値あたいが変化へんかしない行列ぎょうれつmatrixである。

この対称性たいしょうせいは、空間くうかんの歪ゆがみを生成せいせいする変換へんかんではなく、互たがいに直交ちょっこうorthogonalする主方向しゅほうこうごとの伸縮しんしゅくとして分解ぶんかいできることを示唆しさする。主方向しゅほうこうが固有こゆうベクトルeigenvector、伸縮率しんしゅくりつが固有値こゆうちeigenvalueである。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 異ことなる固有値こゆうちeigenvalueの固有こゆうベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする

$A$ を実対称行列じつたいしょうぎょうれつとし、 $A u = λ u$ 、 $A v = μ v$ 、 $λ \neq μ$ とする。内積ないせきinner productの対称性たいしょうせいから

⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩

である。左辺さへんleft-hand sideと右辺うへんright-hand sideを固有値こゆうちeigenvalueで表現ひょうげんすると

λ ⟨ u, v ⟩ = μ ⟨ u, v ⟩

である。したがって

(λ - μ) ⟨ u, v ⟩ = 0

であり、 $λ \neq μ$ であるため $⟨ u, v ⟩ = 0$ である。よって $u$ と $v$ は直交ちょっこうorthogonalする。

複素ふくそcomplexのエルミート行列ぎょうれつHermitian matrixでも同おなじ議論ぎろんが成立せいりつする。 $A^{*} = A$ は自己随伴性じこずいはんせいself-adjointnessであり、内積ないせきinner productの中なかで $A$ を左右さゆうに移動いどうしても

⟨ A u, v ⟩ = ⟨ u, A v ⟩

が成立せいりつする。したがって固有値こゆうちeigenvalueが異ことなれば固有こゆうベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。また $A u = λ u$ のとき

λ ⟨ u, u ⟩ = ⟨ A u, u ⟩ = ⟨ u, A u ⟩ = \overline{λ} ⟨ u, u ⟩

である。 $u \neq 0$ なら $⟨ u, u ⟩ > 0$ なので、 $λ = \overline{λ}$ となり、固有値こゆうちeigenvalueは実数じっすうreal numberである。

2. 実対称行列じつたいしょうぎょうれつのスペクトル定理ていり

有限次元ゆうげんじげんの実内積空間じつないせきくうかんで、実対称行列じつたいしょうぎょうれつ $A$ について次つぎが成立せいりつする。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A = Q D Q^{T}

ここで $Q$ は直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix、 $D$ は実固有値じつこゆうちを並ならべた対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixである。 $Q$ の列れつcolumnは $A$ の正規直交せいきちょっこう固有こゆうベクトルeigenvectorである。

複素ふくそcomplexの場合ばあいは、エルミート行列ぎょうれつmatrix $A$ について

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A = U D U^{*}

が成立せいりつする。ここで $U$ はユニタリ行列ぎょうれつmatrixであり、 $D$ の対角成分たいかくせいぶんは実数じっすうreal numberである。

3. 正規行列せいきぎょうれつとの関係かんけい

複素ふくそcomplexの有限次元ゆうげんじげん内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、正規行列せいきぎょうれつはユニタリに対角化たいかくかdiagonalizationできる。すなわち

A^{*} A = A A^{*} ⟺ A = U D U^{*}

である。エルミート行列ぎょうれつmatrixは正規行列せいきぎょうれつのうち、固有値こゆうちeigenvalueが実数じっすうreal numberになる特別とくべつな場合ばあいである。実対称行列じつたいしょうぎょうれつは、その実数版じっすうばんとして位置いちづけられる。

この整理せいりにより、一般いっぱんの対角化可能行列たいかくかかのうぎょうれつ、正規行列せいきぎょうれつ、エルミート行列ぎょうれつmatrix、実対称行列じつたいしょうぎょうれつの差異さいが明確めいかくになる。直交ちょっこうorthogonalまたはユニタリな基底きていbasisで対角化たいかくかdiagonalizationできることは、内積構造ないせきこうぞうと両立りょうりつすることを意味いみする。

具体例ぐたいれい

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

は対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixである。固有こゆうベクトルeigenvectorとして

q_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\binom{1}{1}), q_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\binom{1}{- 1})

を採用さいようすると、対応たいおうする固有値こゆうちeigenvalueは $3, 1$ である。したがって

Q = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

により

A = Q D Q^{T}

と直交対角化ちょっこうたいかくかされる。

別べつの観点かんてん

通常つうじょうの対角化たいかくかdiagonalizationは、適切てきせつな基底きていbasisを選択せんたくして行列ぎょうれつmatrixを単純化たんじゅんかする操作そうさoperationである。直交対角化ちょっこうたいかくかは、さらにその基底きていbasisを正規直交基底せいきちょっこうきていorthonormal basisにできるという強つよい主張しゅちょうである。

この差異さいは計算上けいさんじょうも幾何学上きかがくじょうも重要じゅうようである。直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrixは長ながさと角度かくどを保存ほぞんするため、座標変換ざひょうへんかんによって内積構造ないせきこうぞうが破壊はかいされない。

判定基準はんていきじゅん

実対称行列じつたいしょうぎょうれつなら、直交対角化ちょっこうたいかくかできる。
エルミート行列ぎょうれつmatrixなら、ユニタリ対角化たいかくかdiagonalizationできる。
複素ふくそcomplexでは、ユニタリ対角化たいかくかdiagonalizationできる行列ぎょうれつmatrixは正規行列せいきぎょうれつである。
異ことなる固有値こゆうちeigenvalueに対応たいおうする固有こゆうベクトルeigenvectorは直交ちょっこうorthogonalする。
固有値こゆうちeigenvalueは、主方向しゅほうこうごとの伸縮率しんしゅくりつとして解釈かいしゃくできる。

どこまで成なり立たつか

直交対角化ちょっこうたいかくかは任意にんいの対角化可能行列たいかくかかのうぎょうれつに成立せいりつするわけではない。直交対角化ちょっこうたいかくかには、内積ないせきinner productと両立りょうりつする対称性たいしょうせいが必要ひつようである。複素ふくそcomplexでは対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixではなくエルミート行列ぎょうれつmatrixを基本対象きほんたいしょうにする。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A^{T} = A ⟹ A = Q D Q^{T}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A^{*} = A ⟹ A = U D U^{*}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A^{*} A = A A^{*} ⟺ A isunitarilydiagonalizable

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] λ \neq μ \Rightarrow E_{λ} ⊥ E_{μ}

一言ひとことでいうと

対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは、空間くうかんを直交ちょっこうorthogonalする固有方向こゆうほうこうごとの伸縮しんしゅくへ分解ぶんかいできる行列ぎょうれつmatrixである。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/固有値・対角化・発展-基本演習.n.md data/exercise/math/linear-algebra/複素内積とユニタリ行列-基本演習.n.md