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固有値・対角化・発展-基本演習md 818a803
exercise/math/linear-algebra/固有値・対角化・発展-基本演習.n.md
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固有値・対角化・発展-基本演習
mathlinear-algebraexerciseeigenvaluediagonalization
演習方針
固有ベクトルは、線型変換で向きが変わらない方向である。対角化は、空間をその方向ごとに分解し、線型変換を倍率だけに単純化する。
二次形式、最小多項式、ジョルダン標準形、SVD、擬似逆行列は関連演習に分割している。
問題 1
A=
\begin{pmatrix}
2&0\\
0&3
\end{pmatrix}
の固有値と固有ベクトルを求め、幾何的な意味を述べよ。
解答例
○
固有値は 2 と 3 である。\lambda=2 に対する固有ベクトルは e_1 の非零な倍、\lambda=3 に対する固有ベクトルは e_2 の非零な倍である。
解説
A は x 軸方向を 2 倍、y 軸方向を 3 倍に伸ばす。軸の向きは変わらないので、標準基底がそのまま固有ベクトルになる。零ベクトルは方向を表さないため、固有ベクトルには含めない。
問題 2
B=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix}
が対角化可能かを判定せよ。
解答例
○
固有値は \lambda=1 だけである。
B-I=
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}
なので、固有空間は y=0、つまり e_1 の張る 1 次元の空間である。2\times2 行列を対角化するには一次独立な固有ベクトルが 2 本必要なので、B は対角化可能ではない。
解説
固有値を求めるだけでは不十分である。対角化には、空間全体を固有ベクトルの基底で埋める必要がある。
問題 3
C=
\begin{pmatrix}
2&1\\
1&2
\end{pmatrix}
を直交対角化せよ。
解答例
○
固有値は 3 と 1 である。対応する単位固有ベクトルとして
q_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
\qquad
q_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
を取れる。したがって、
Q=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix},
\qquad
D=
\begin{pmatrix}
3&0\\
0&1
\end{pmatrix}
とすると、
Q^TCQ=D
である。
解説
C は対称行列なので、異なる固有値に属する固有ベクトルを直交に選べる。直交行列による基底変換は長さと角度を保存する。
問題 4
A=
\begin{pmatrix}
2&1\\
0&3
\end{pmatrix}
を対角化し、A^n を求めよ。
解答例
○
\lambda=2 に対する固有ベクトルは (1,0)^T、\lambda=3 に対する固有ベクトルは (1,1)^T と取れる。したがって
P=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix},
\qquad
D=
\begin{pmatrix}
2&0\\
0&3
\end{pmatrix}
とすると A=PDP^{-1} である。よって
A^n=PD^nP^{-1}
=
\begin{pmatrix}
2^n&3^n-2^n\\
0&3^n
\end{pmatrix}
である。
解説
対角化は、累乗を固有方向ごとの倍率の累乗へ分解する道具である。
問題 5
x'(t)=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-2
\end{pmatrix}
x(t),
\qquad
x(0)=
\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}
を解け。
解答例
○
第 1 成分は x_1'(t)=x_1(t)、第 2 成分は x_2'(t)=-2x_2(t) を満たす。したがって
x(t)=
\begin{pmatrix}
3e^t\\
4e^{-2t}
\end{pmatrix}
である。
解説
固有値は時間発展の伸び方を決める。この例では、第 1 方向は e^t で増加し、第 2 方向は e^{-2t} で減衰する。