二次形式にじけいしきquadratic form・最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial・ジョルダン-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-25description二次形式、正定値性、最小多項式、ジョルダン標準形を、対角化できる場合とできない場合の違いから確認する演習である。prerequisites二次形式と正定値行列 / 最小多項式の基本 / ジョルダン標準形の入口type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathlinear-algebraexercisequadratic-formminimal-polynomialjordan-form

data/lecture/math/linear-algebra/二次形式と正定値行列-講義.n.md data/lecture/math/linear-algebra/最小多項式の基本-講義.n.md data/lecture/math/linear-algebra/ジョルダン標準形の入口-講義.n.md

演習えんしゅう方針ほうしん

二次形式にじけいしきquadratic formは、方向ほうこうごとの符号ふごうと伸縮しんしゅくを調しらべる道具どうぐである。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとジョルダン標準形ひょうじゅんけいJordan normal formは、固有値こゆうちeigenvalueだけでは見みえない「対角化たいかくかdiagonalizationできない成分せいぶんcomponent」を記録きろくする。

問題もんだい 1

q (x, y) = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}

の正定値性せいていちせいpositive definitenessを判定はんていせよ。

解答例かいとうれい

○

対応たいおうする対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは

C = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

である。固有値こゆうちeigenvalueは $3$ と $1$ で、どちらも正せいである。したがって $q$ は正定値せいていちpositive definiteである。

解説かいせつ

二次形式にじけいしきquadratic formを固有方向こゆうほうこうeigendirectionに沿そって読よむと、平方へいほうの和わに分解ぶんかいできる。係数けいすうcoefficientである固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せいなら、零れいでない入力にゅうりょくに対たいして正せいになる。

問題もんだい 2

q (x, y, z) = 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - z^{2}

を対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixで表あらわし、正定値せいていちpositive definite・非負定値ひふていちpositive semidefinite・不定ふていindefiniteのどれであるかを判定はんていせよ。

解答例かいとうれい

○

対応たいおうする対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは

S = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

である。 $x = 1, y = 0, z = 0$ では $q (1, 0, 0) = 2 > 0$ であり、 $x = 0, y = 0, z = 1$ では $q (0, 0, 1) = - 1 < 0$ である。したがって $q$ は不定ふていindefiniteである。

解説かいせつ

正定値性せいていちせいpositive definitenessは全すべての非零ひれいベクトルで正せいになることを要求ようきゅうする。正せいになる方向ほうこうと負ふになる方向ほうこうが両方りょうほうあれば不定ふていindefiniteである。

問題もんだい 3

J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

について、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが $(t - 1)^{2}$ であることを説明せつめいせよ。

解答例かいとうれい

○

J - I = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq 0

だが、

(J - I)^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

である。したがって $J$ を零行列れいぎょうれつzero matrixにする最低次数さいていじすうの首一多項式しゅいちたこうしきは $(t - 1)^{2}$ である。

解説かいせつ

固有値こゆうちeigenvalueだけなら $(t - 1)$ で足たりそうに見みえる。しかし $J - I \neq 0$ なので、非対角成分ひたいかくせいぶんが残のこっている。この残のこりがジョルダン標準形ひょうじゅんけいJordan normal formで扱あつかう情報じょうほうである。

問題もんだい 4

D = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}), J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

の最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを求もとめ、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialだけでは区別くべつできない情報じょうほうを説明せつめいせよ。

解答例かいとうれい

○

$D - I = 0$ なので

m_{D} (t) = t - 1

である。 $E$ では $(E - I) (E - 2 I) = 0$ であり、どちらか 1 つの因子いんしだけでは零行列れいぎょうれつzero matrixにならないので

m_{E} (t) = (t - 1) (t - 2)

である。 $J$ では $J - I \neq 0$ だが $(J - I)^{2} = 0$ なので

m_{J} (t) = (t - 1)^{2}

である。

解説かいせつ

$D$ と $J$ はどちらも特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが $(t - 1)^{2}$ である。しかし $D$ は対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixで、 $J$ は対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableではない。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、この違ちがいを重根じゅうこんの有無うむとして記録きろくする。

問題もんだい 5

$N = A - λ I$ が 4 次元じげんdimensionの空間くうかんで冪零べきれいnilpotentに作用さようし、

\dim \ker N = 2, \dim \ker N^{2} = 3, \dim \ker N^{3} = 4

であるとする。 $λ$ に対たいするジョルダンブロックの大おおきさを求もとめよ。

解答例かいとうれい

○

$\dim \ker N$ はジョルダンブロックの個数こすうを表あらわすので、ブロックは 2 個こである。差さを取とると、

2, 1, 1

となる。これは、大おおきさ 1 以上いじょうのブロックが 2 個こ、大おおきさ 2 以上いじょうのブロックが 1 個こ、大おおきさ 3 以上いじょうのブロックが 1 個こであることを意味いみする。したがってブロックの大おおきさは 3 と 1 である。

解説かいせつ

核かくkernelの次元じげんdimensionの増ふえ方かたは、ジョルダン鎖さJordan chainがどこまで続つづくかを表あらわす。これは、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorが $N$ を作用さようさせるたびに鎖さを 1 段だんずつ下おりるためである。

問題もんだい 6

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

について、 $N = A - 2 I$ とおく。 $\ker N$ 、 $\ker N^{2}$ 、 $\ker N^{3}$ を求もとめ、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorのジョルダン鎖さJordan chainを 1 つ作つくれ。また、 $e^{t A}$ を求もとめよ。

解答例かいとうれい

○

N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

であり、 $N (x, y, z)^{T} = (y, z, 0)^{T}$ である。したがって

\ker N = span (e_{1}), \ker N^{2} = span (e_{1}, e_{2}), \ker N^{3} = R^{3}

である。また

N e_{1} = 0, N e_{2} = e_{1}, N e_{3} = e_{2}

なので、 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ は長ながさ 3 のジョルダン鎖さJordan chainを作つくる。

$A = 2 I + N$ 、 $N^{3} = 0$ より、

e^{t A} = e^{2 t} (I + t N + \frac{t^{2}}{2} N^{2}) = e^{2 t} (\begin{matrix} 1 & t & \frac{t^{2}}{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

である。

解説かいせつ

固有こゆうベクトルeigenvectorだけでは足たりない場合ばあい、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorが不足ふそくする方向ほうこうを補おぎなう。冪零成分べきれいせいぶんnilpotent partは、 $e^{t A}$ に多項式的たこうしきてきな因子いんしを生うむ。

二次形式にじけいしきquadratic form・最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial・ジョルダン-基本演習きほんえんしゅう

演習えんしゅう方針ほうしん

問題もんだい 1

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 2

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 3

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 4

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 5

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 6

解答例かいとうれい

解説かいせつ

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