複素内積とユニタリ行列-基本演習
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演習方針
複素の計算では、複素共役を取る場所が本質的である。この演習では、複素内積、共役転置、エルミート行列、ユニタリ行列が何を保存し、何を判定するための条件なのかを確認する。
問題 1
この系列の規約
\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^n x_k\overline{y_k}
で、
u=\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix},
\qquad
v=\begin{pmatrix}i\\ 1\end{pmatrix}
について、\langle u,v\rangle、\langle v,u\rangle、\|u\| を求めよ。
解答例
○
\langle u,v\rangle=1\cdot\overline i+i\cdot\overline 1=-i+i=0
\langle v,u\rangle=i\cdot\overline 1+1\cdot\overline i=i-i=0
\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}
=
\sqrt{1\cdot\overline1+i\cdot\overline i}
=\sqrt2
解説
複素内積では、第 2 変数の成分に複素共役が付く。この問題は、直交の判定で共役を忘れると結果が変わることを確認している。
問題 2
A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&3\end{pmatrix}
について、A^* を求め、A がエルミート行列かどうかを判定せよ。
解答例
○
まず転置してから各成分の共役を取る。
A^*=\begin{pmatrix}2&i\\-i&3\end{pmatrix}
したがって A^*=A であり、A はエルミート行列である。
解説
エルミート行列では、対角成分が実数になり、非対角成分は鏡映位置で複素共役になる。この条件は実対称行列の複素数版である。
問題 3
U=\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}
がユニタリ行列であることを確認し、任意の x=(x_1,x_2)^T について \|Ux\|=\|x\| が成り立つことを説明せよ。
解答例
○
U^*=\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}
なので、
U^*U=
\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}
=I
である。したがって U はユニタリ行列である。また
Ux=\begin{pmatrix}x_1\\ix_2\end{pmatrix}
だから
\|Ux\|^2=|x_1|^2+|ix_2|^2=|x_1|^2+|x_2|^2=\|x\|^2
である。
解説
ユニタリ行列は位相を変えることはあるが、長さと内積を保存する。この問題は、「複素数を掛ける」と「長さを変える」が同じでないことを確認している。
問題 4
y=\begin{pmatrix}1\\1+i\end{pmatrix},
\qquad
u=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}
について、y の \operatorname{span}(u) への直交射影を求めよ。
解答例
○
この規約では
\operatorname{proj}_u(y)=\frac{\langle y,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u
である。まず
\langle y,u\rangle=1\cdot\overline1+(1+i)\overline i=1+(1+i)(-i)=2-i
また
\langle u,u\rangle=1\cdot\overline1+i\overline i=2
なので、
\operatorname{proj}_u(y)=\frac{2-i}{2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1-\frac{i}{2}\\\frac12+i\end{pmatrix}
解説
分母の \langle u,u\rangle は、u\ne0 と正定値性により正の実数である。ここでは u\ne0 なので 0 除算は起きない。この問題は、射影係数の式でも共役の位置が重要であることを確認している。
問題 5
B=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix}
の固有値を求め、エルミート行列の固有値が実数になることと対応しているかを確認せよ。
解答例
○
\det(B-\lambda I)
=
\det\begin{pmatrix}2-\lambda&i\\-i&2-\lambda\end{pmatrix}
=(2-\lambda)^2-1
である。したがって
(2-\lambda)^2=1
より、固有値は 1,3 である。どちらも実数である。
解説
B^*=B なので B はエルミート行列である。エルミート行列は複素数を成分に持っていても、固有値は実数になる。この性質が、量子力学などで観測量をエルミート行列で表す理由の 1 つである。
問題 6
つぎの文の正誤を判定し、理由を述べよ。
- ユニタリ行列は内積を保存する。
- エルミート行列は必ず正規行列である。
- ユニタリ行列は必ずエルミート行列である。
解答例
○
1 は正しい。U^*U=I より \langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle である。
2 は正しい。A^*=A なら A^*A=A^2=AA^* である。
3 は誤りである。\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix} はユニタリ行列だが、エルミート行列ではない。
解説
ユニタリ行列、エルミート行列、正規行列は互いに近いが、同じ概念ではない。何を保存する条件なのか、何を対角化する条件なのかを分けて読むことが重要である。
問題 7
A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}
を \mathbb C 上で考える。A が正規行列であることを確認し、ユニタリ行列で対角化せよ。
解答例
○
A^*=-A であり、A^2=-I なので
A^*A=(-A)A=I,\qquad AA^*=A(-A)=I
である。したがって A^*A=AA^* であり、A は正規行列である。
固有値は i,-i である。i に対する固有ベクトルとして (1,i)^T、-i に対する固有ベクトルとして (1,-i)^T を取れる。これらを正規化して
U=\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix},
\qquad
D=
\begin{pmatrix}
i&0\\
0&-i
\end{pmatrix}
とおくと、
U^*AU=D
である。
解説
この行列はエルミート行列ではないが、正規行列である。複素では、エルミート行列だけでなく、正規行列もユニタリ対角化の自然な対象になる。
問題 8
この系列の規約
\langle x,y\rangle=\sum_k x_k\overline{y_k}
で、
x_1=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},
\qquad
x_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
に Gram-Schmidt の直交化を行え。
解答例
○
まず
u_1=x_1=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}
とする。u_1\ne0 であり、\langle u_1,u_1\rangle=2 なので、射影係数を定義できる。
u_2=x_2-\frac{\langle x_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1
=
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
-\frac12
\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\frac12\\-\frac{i}{2}\end{pmatrix}
である。
解説
複素内積では、射影係数の分子に現れる共役の位置が重要である。この問題では \langle x_2,u_1\rangle=1 であり、u_2 は u_1 に直交する。
問題 9
A=
\begin{pmatrix}
1&i\\
0&2
\end{pmatrix},
\qquad
x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
\qquad
y=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}
について、\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle を具体計算で確認せよ。
解答例
○
Ax=
\begin{pmatrix}1+i\\2\end{pmatrix}
なので
\langle Ax,y\rangle=(1+i)\overline i+2\overline1=3-i
である。また
A^*=
\begin{pmatrix}
1&0\\
-i&2
\end{pmatrix}
だから
A^*y=
\begin{pmatrix}i\\3\end{pmatrix}
であり、
\langle x,A^*y\rangle=1\overline i+1\overline3=3-i
である。したがって両辺は一致する。
解説
共役転置 A^* は、複素内積に対する随伴である。この等式は、A^* が単なる記号ではなく、内積の中で A を反対側へ移すための操作であることを示している。
問題 10
この系列の規約で
A=
\begin{pmatrix}
1\\
i
\end{pmatrix},
\qquad
b=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
とする。複素最小二乗問題 Ax\simeq b の正規方程式を解き、残差が列空間に直交することを確認せよ。
○
ここでは
A^*=
\begin{pmatrix}
1&-i
\end{pmatrix}
である。したがって
A^*A=1+(-i)i=2,
\qquad
A^*b=1
である。正規方程式
A^*Ax=A^*b
は 2x=1 となるので、
x=\frac12
である。このとき
Ax=
\begin{pmatrix}
\frac12\\
\frac{i}{2}
\end{pmatrix},
\qquad
r=b-Ax=
\begin{pmatrix}
\frac12\\
-\frac{i}{2}
\end{pmatrix}
である。さらに
A^*r
=
\begin{pmatrix}1&-i\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac12\\
-\frac{i}{2}
\end{pmatrix}
=
\frac12-\frac12
=0
なので、残差は列空間に直交する。
この問題は、実数の最小二乗法で現れた「残差が列空間に直交する」という幾何が、複素内積でも A^*r=0 として表されることを確認している。
問題 11
U=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
がユニタリ行列であることを確認し、
x=
\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},
\qquad
y=
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
について \langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle を具体計算で確認せよ。
○
U は実対称であり、
U^*U=U^TU=I
なのでユニタリ行列である。また
Ux=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
1+i\\
1-i
\end{pmatrix},
\qquad
Uy=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
である。この規約では第 2 変数に共役を付けるので、
\langle Ux,Uy\rangle
=
\frac{1+i}{2}
+
\frac{1-i}{2}
=1
である。一方、
\langle x,y\rangle=1\cdot\overline1+i\cdot\overline0=1
である。したがって \langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle である。
この問題は、ユニタリ行列が対角行列でなくても、内積と長さを保存することを確認する。Ux と Uy の成分は変わるが、二つのベクトルの幾何的な関係は変わらない。