単位行列たんいぎょうれつidentity matrix・零行列れいぎょうれつzero matrix・転置てんちの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、単位行列たんいぎょうれつidentity matrix、零行列れいぎょうれつzero matrix、転置てんちは、行列ぎょうれつmatrixの演算えんざんを整理せいりする基準きじゅんであるということである。

逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrix、対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrix、内積ないせきinner product、SVD では、これらの記号きごうが頻出ひんしゅつする。計算けいさんの前段階ぜんだんかいとして、何なにを変かえず、何なにを 0 にし、何なにを入いれ替かえるのかを固定こていする。

用語ようごと定義ていぎ

単位行列たんいぎょうれつIdentity matrix とは、対角成分たいかくせいぶんが 1、他ほかの成分せいぶんcomponentが 0 の正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixである。

零行列れいぎょうれつZero matrix とは、すべての成分せいぶんcomponentが 0 の行列ぎょうれつmatrixである。

転置てんちTranspose とは、行ぎょうrowと列れつcolumnを入いれ替かえる操作そうさoperationであり、$$A^T$$A^T と書かく。

共役転置きょうやくてんちConjugate transpose とは、複素行列ふくそぎょうれつcomplex matrixで転置てんちしたあと各成分かくせいぶんの複素共役ふくそきょうやくcomplex conjugateを取とる操作そうさoperationであり、$$A^{*}$$A^* と書かく。実行列じつぎょうれつでは $$A^{*}=A^T$$A^*=A^T であるが、複素行列ふくそぎょうれつでは一般いっぱんに異ことなる。

方針ほうしん

単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは掛かけても変化へんかしない基準きじゅん、零行列れいぎょうれつzero matrixは加法かほうの基準きじゅん、転置てんちは行ぎょうrowと列れつcolumnを交換こうかんする操作そうさoperationとして理解りかいする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは、ベクトルをそのまま返かえす変換へんかんである。したがって $$Ix=x$$Ix=x が成立せいりつする。零行列れいぎょうれつzero matrixは、すべてのベクトルを零れいベクトルへ送おくる。

転置てんちは、行ぎょうrowを列れつcolumnとして読よみ替かえる操作そうさoperationである。内積ないせきinner productや対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixでは、この読よみ替かえが本質的ほんしつてきに作用さようする。

もう少すこし構造的こうぞうてきに言いうと、転置てんちは「入力側にゅうりょくがわと出力側しゅつりょくがわを入いれ替かえて見みる」操作そうさoperationである。行ぎょうrowとして並ならんでいた条件じょうけんは列れつcolumnとして現あらわれ、列れつcolumnとして並ならんでいた生成方向せいせいほうこうは行ぎょうrowとして現あらわれる。

厳密げんみつな説明せつめい

$$A=\left(a_{ij}\right)$$A=(a_{ij}) を $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。このとき転置てんち $$A^T$$A^T は $$n\times m$$n\times m 行列ぎょうれつmatrixであり、成分せいぶんcomponentは

である。積せきに対たいしては

が成立せいりつする。順序じゅんじょが反転はんてんするのは、行列積ぎょうれつせきが写像しゃぞうmapの合成ごうせいを表あらわすためである。

単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは、サイズが合あうとき

を満みたす。零行列れいぎょうれつzero matrixは

を満みたす。

操作そうさoperationごとに保存ほぞんされるもの・変かわるもの

単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは何なにも変かえない基準きじゅんである。ただし、$AI=A$AI=A と $IA=A$IA=A では必要ひつような $I$I のサイズが異ことなる。行列ぎょうれつmatrix $A$A が $m\times n$m\times n なら、

である。

零行列れいぎょうれつzero matrixは、加法かほうでは何なにも変かえない。しかし掛かけ算ざんでは状況じょうきょうが違ちがう。

は、入力にゅうりょくや出力しゅつりょくの情報じょうほうを零れいへ潰つぶす操作そうさoperationである。したがって零行列れいぎょうれつzero matrixは、加法かほうでは中立ちゅうりつだが、合成ごうせいでは情報じょうほうを消けす写像しゃぞうmapとして働はたらく。

転置てんちで入いれ替かわるもの

$A$A を $m\times n$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。転置てんちすると、行ぎょうrowと列れつcolumnが入いれ替かわるため、サイズは

に変かわる。したがって、$A$A の列空間れつくうかんcolumn spaceは $K^m$K^m の部分空間ぶぶんくうかんsubspaceであり、$A^T$A^T の列空間れつくうかんcolumn spaceは $K^n$K^n の部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。同おなじ空間くうかんの部分集合ぶぶんしゅうごうとして比くらべるのではなく、行ぎょうrowと列れつcolumnの役割やくわりが交換こうかんされたと読よむ。

具体的ぐたいてきには、

である。したがって階数かいすうrankは保存ほぞんされる。

一方いっぽう、核かくkernelはそのまま同おなじ集合しゅうごうsetとして保存ほぞんされるわけではない。$A:K^n\to K^m$A:K^n\to K^m なら $\ker A$\ker A は $K^n$K^n の部分空間ぶぶんくうかんsubspaceであり、$A^T:K^m\to K^n$A^T:K^m\to K^n なら $\ker A^T$\ker A^T は $K^m$K^m の部分空間ぶぶんくうかんsubspaceである。属ぞくする空間くうかんが異ことなるため、転置てんちで核かくkernelが保存ほぞんされるとは言いわない。

転置てんちで保存ほぞんされるもの

転置てんちは、行ぎょうrowと列れつcolumnを交換こうかんしても情報じょうほうの配列はいれつを失うしなわない。実際じっさい、

であり、転置てんちは元もとに戻もどせる操作そうさoperationである。このため、階数かいすうrankは保存ほぞんされる。

正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは、行列式ぎょうれつしきdeterminantも保存ほぞんされる。

これは、行列式ぎょうれつしきdeterminantを行ぎょうrowについて展開てんかいしても列れつcolumnについて展開てんかいしても同おなじ値あたいになることに対応たいおうする。行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算規則けいさんきそくは次つぎのページで扱あつかう。

転置てんちと行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operation・列基本変形れつきほんへんけいelementary column operation

転置てんちは、行ぎょうrowと列れつcolumnを交換こうかんするため、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationも互たがいに対応たいおうする。

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで

と書かけるとき、転置てんちすると

である。これは、$A^T$A^T に右みぎから $E^T$E^T を掛かけているので、$A^T$A^T に対たいする列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationである。

逆ぎゃくに、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationで

と書かけるとき、

である。これは、$A^T$A^T に左ひだりから $F^T$F^T を掛かけているので、$A^T$A^T に対たいする行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationである。

したがって、転置てんちは「行ぎょうrowの話はなしを列れつcolumnの話はなしへ」「列れつcolumnの話はなしを行ぎょうrowの話はなしへ」翻訳ほんやくする道具どうぐである。

具体例ぐたいれい

なら

である。$A$A は $2\times 3$2\times3 行列ぎょうれつmatrixであり、$A^T$A^T は $3\times 2$3\times2 行列ぎょうれつmatrixである。

この例れいでは、$A$A の第だい 1 行ぎょうrow $(1,2,3)$(1,2,3) が、$A^T$A^T の第だい 1 列れつcolumnになる。また、$A$A の第だい 2 列れつcolumn $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)$\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} は、$A^T$A^T の第だい 2 行ぎょうrowになる。成分せいぶんcomponentを単独たんどくで追おうより、行ぎょうrowと列れつcolumnの役割やくわりが交換こうかんされると読よむ方ほうが理解りかいしやすい。

よくある誤解ごかい

• 単位行列たんいぎょうれつidentity matrixは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixである。サイズを無視むしして $$I$$I を掛かけてはならない。
• 零行列れいぎょうれつzero matrixはサイズごとに存在そんざいする。$$2\times 3$$2\times3 の零行列れいぎょうれつzero matrixと $$3\times 2$$3\times2 の零行列れいぎょうれつzero matrixはサイズが異ことなる。
• 転置てんちは逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixではない。$$A^T$$A^T と $$A^{-1}$$A^{-1} は別べつの概念がいねんである。
• 転置てんちで核かくkernelがそのまま保存ほぞんされると考かんがえてはならない。$A$A と $A^T$A^T では入力空間にゅうりょくくうかんinput spaceが入いれ替かわる。
• $(AB{)}^T=A^T{B}^T$(AB)^T=A^TB^T と誤あやまってはならない。正ただしくは $(AB{)}^T=B^T{A}^T$(AB)^T=B^TA^T である。

どこまで成なり立たつか

複素行列ふくそぎょうれつでは、転置てんちだけでなく共役転置きょうやくてんち $$A^{*}$$A^* が重要じゅうようになる。エルミート行列ぎょうれつmatrixや SVD では $$A^T$$A^T ではなく $$A^{*}$$A^* を使用しようする。

この順序じゅんじょの反転はんてんは転置てんちと同おなじであり、さらに成分せいぶんcomponentに共役きょうやくが加くわわる。複素内積ふくそないせきcomplex inner productの中なかでは $$A^{*}$$A^* が随伴ずいはんadjointとして働はたらき、$$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩$$\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle を満みたす。

最終形さいしゅうけい

演習えんしゅうリンク

関連かんれんリンク