行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationの基本きほん

date2026-05-25description行基本変形を、連立一次方程式の解集合を保ったまま係数を整理する三種類の操作として説明し、左から基本行列を掛ける意味と列基本変形との違いまで整理する講義である。prerequisites拡大係数行列 / 行列の基本演算type講義statusactive

mathlinear-algebraundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの解集合かいしゅうごうsolution setを変かえずに係数けいすうcoefficientを整理せいりする操作そうさoperationであるということである。

掃はき出だし法ほうGaussian eliminationでは、行ぎょうrowを操作そうさoperationしても元もとの方程式ほうていしきequationと同値どうちequivalentな条件じょうけんconditionを保たもつ。この同値性どうちせいequivalenceを確認かくにんしないと、計算手順けいさんてじゅんcomputational procedureだけが残のこり、なぜ解かいsolutionが変化へんかしないのかが不明瞭ふめいりょうになる。

用語ようごと定義ていぎ

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operation とは、次つぎの 3 種類しゅるいの操作そうさoperationである。

2 行ぎょうrowを入いれ替かえる。
1 行ぎょうrowを 0 でない定数ていすうconstantで倍ばいscalar multipleする。
ある行ぎょうrowに、別べつの行ぎょうrowの定数倍ていすうばいscalar multipleを加くわえる。

記号きごうでは次つぎのように書かく。

操作そうさoperation	記号きごう	逆操作ぎゃくそうさinverse operation
行ぎょうrowの交換こうかんswap	$R_{i} \leftrightarrow R_{j}$	同おなじ交換こうかんswapをもう 1 度ど行おこなう
行ぎょうrowの非零定数倍ひぜろていすうばいnonzero scalar multiple	$R_{i} \leftarrow λ R_{i}, λ \neq 0$	$R_{i} \leftarrow \frac{1}{λ} R_{i}$
他行たぎょうanother rowの倍ばいscalar multipleの加算かさんaddition	$R_{i} \leftarrow R_{i} + λ R_{j}$	$R_{i} \leftarrow R_{i} - λ R_{j}$

3 操作そうさoperationsに共通きょうつうする条件じょうけんconditionは、逆操作ぎゃくそうさinverse operationが存在そんざいすることである。行ぎょうrowを 0 倍ばいscalar multipleしないのは、方程式ほうていしきequation 1 本ぽんの情報じょうほうを消けしてしまうからである。

方針ほうしん

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、方程式ほうていしきequationを同値どうちequivalentな方程式ほうていしきequationへ置換ちかんする操作そうさoperationとして理解りかいする。行ぎょうrowは方程式ほうていしきequation 1 本ぽんに対応たいおうするため、行ぎょうrowの操作そうさoperationは方程式ほうていしきequationの操作そうさoperationである。

行列ぎょうれつmatrixとしては、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは左ひだりから基本行列きほんぎょうれつelementary matrixを掛かける操作そうさoperationである。

A ⟼ E A

$E A$ の各行かくぎょうeach rowは、 $A$ の行ぎょうrowsたちの線型結合せんけいけつごうlinear combinationとして作つくられる。つまり、左ひだりから掛かける行列ぎょうれつmatrixは行ぎょうrowを作つくり替かえる。

data/lecture/math/linear-algebra/連立一次方程式と拡大係数行列-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

2 本ほんの方程式ほうていしきequationsの順序じゅんじょorderを交換こうかんswapしても、同時どうじに満みたす解かいsolutionは変化へんかしない。また、方程式ほうていしきequationの両辺りょうへんboth sidesを 2 倍ばいscalar multipleしても、同おなじ条件じょうけんconditionを表あらわす。一方いっぽうの方程式ほうていしきequationに他方たほうの定数倍ていすうばいscalar multipleを加くわえても、元もとの情報じょうほうは失うしなわれない。

これが、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで解集合かいしゅうごうsolution setが保持ほじpreservationされる理由りゆうである。

厳密げんみつな説明せつめい

行ぎょうrowの入いれ替かえは、条件じょうけんconditionsの列挙順序れっきょじゅんじょlisting orderを変更へんこうするだけである。0 でない定数倍ていすうばいscalar multipleは、両辺りょうへんboth sidesを同おなじ非零数ひぜろすうnonzero numberで割われば元もとに戻もどせる。他ほかの行ぎょうrowの定数倍ていすうばいscalar multipleを加くわえる操作そうさoperationも、逆ぎゃくinverseにその定数倍ていすうばいscalar multipleを引ひけば戻もどせる。

したがって、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationはすべて可逆かぎゃくinvertibleな操作そうさoperationであり、解集合かいしゅうごうsolution setを変化へんかさせない。

行列ぎょうれつmatrixとしての説明せつめい

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、単位行列たんいぎょうれつidentity matrixに同おなじ行操作ぎょうそうさrow operationを施ほどこして得えられる基本行列きほんぎょうれつelementary matrix $E$ を左ひだりから掛かける操作そうさoperationである。

たとえば 2 行ぎょうrows 2 列れつcolumnsの行列ぎょうれつmatrixで

R_{2} \leftarrow R_{2} - 3 R_{1}

を行おこなう基本行列きほんぎょうれつelementary matrixは

E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{matrix})

である。実際じっさい、

E (\begin{matrix} R_{1} \\ R_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} R_{1} \\ R_{2} - 3 R_{1} \end{matrix})

となる。この式しきformulaは、左ひだりから掛かける行列ぎょうれつmatrixが行ぎょうrowsの線型結合せんけいけつごうlinear combinationを作つくることを表あらわしている。

具体例ぐたいれい

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&4&11 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&4&11 \end{array}\right)

で、第二行だいにぎょうsecond rowから第一行だいいちぎょうfirst rowの 3 倍ばいscalar multipleを引ひくと

\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&-2&-4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 0&-2&-4 \end{array}\right)

となる。第二行だいにぎょうsecond rowは元もとの第二方程式だいにほうていしきsecond equationから第一方程式だいいちほうていしきfirst equationの 3 倍ばいscalar multipleを差さし引ひいたものなので、解集合かいしゅうごうsolution setは変化へんかしない。

別べつの観点かんてん

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、左ひだりから可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixを掛かける操作そうさoperationとしても解釈かいしゃくできる。このため階数かいすうrankの判定はんていcriterionでは有効ゆうこうである。ただし行列式ぎょうれつしきdeterminantは操作そうさoperationごとに符号ふごうsignや倍率ばいりつfactorが変化へんかするため、別途べっと追跡ついせきtrackingが必要ひつようである。

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationとの比較ひかく

変形へんけいtransformation	行列ぎょうれつmatrixでの形かたち	何なにを作つくり替かえるか	主おもな用途ようとuse
行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operation	$A \mapsto E A$	行ぎょうrow、つまり方程式ほうていしきequationの線型結合せんけいけつごうlinear combination	連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equations、階段形かいだんけいechelon form、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrix
列基本変形れつきほんへんけいelementary column operation	$A \mapsto A F$	列れつcolumn、つまり列れつcolumnベクトルの生成系せいせいけいgenerating set	列空間れつくうかんcolumn space、階数かいすうrank、行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算けいさん

$A x = b$ を解とくとき、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは $A$ と $b$ の両方りょうほうへ同おなじ操作そうさoperationを施ほどこすことで、同値どうちequivalentな方程式ほうていしきequationへ移うつる。列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは未知数みちすうunknownの係数けいすうcoefficientの組くみを変かえるため、使つかうなら未知数みちすうunknownの変換へんかんtransformationも追跡ついせきtrackingしなければならない。

data/lecture/math/linear-algebra/列基本変形の基本-講義.n.md

操作そうさoperationごとに保存ほぞんpreservationされるもの・変かわるもの

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを $A \mapsto E A$ と書かくと、 $E$ は可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixである。したがって、行ぎょうrowの見みた目めは変かわるが、情報じょうほうの本数ほんすうは変かわらない。この見方みかたで、保存ほぞんpreservationされるものと変かわるものを分わける。

操作そうさoperation	保存ほぞんpreservationされるもの	変かわるもの	注意ちゅうい
$R_{i} \leftrightarrow R_{j}$	解集合かいしゅうごうsolution set、階数かいすうrank、行空間ぎょうくうかんrow space、核かくkernel	行ぎょうrowの順序じゅんじょorder、列れつcolumnベクトルの見みた目め、 $\det A$ の符号ふごうsign	正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは $\det$ が $- 1$ 倍ばいfactorされる
$R_{i} \leftarrow λ R_{i}, λ \neq 0$	解集合かいしゅうごうsolution set、階数かいすうrank、行空間ぎょうくうかんrow space、核かくkernel	第だい $i$ 行ぎょうrowの大おおきさ、 $\det A$ の倍率ばいりつfactor	$λ = 0$ は情報じょうほうを消けすため禁止きんしである
$R_{i} \leftarrow R_{i} + λ R_{j}$	解集合かいしゅうごうsolution set、階数かいすうrank、行空間ぎょうくうかんrow space、核かくkernel、 $\det A$	第だい $i$ 行ぎょうrowそのもの、列れつcolumnベクトルの見みた目め	行列式ぎょうれつしきdeterminantは変かわらない

行空間ぎょうくうかんrow spaceが保存ほぞんpreservationされるのは、新あたらしい行ぎょうrowが元もとの行ぎょうrowの線型結合せんけいけつごうlinear combinationであり、逆操作ぎゃくそうさinverse operationで元もとの行ぎょうrowも新あたらしい行ぎょうrowから復元ふくげんできるからである。階数かいすうrankは行空間ぎょうくうかんrow spaceの次元じげんdimensionとしても読よめるので保存ほぞんpreservationされる。

核かくkernelが保存ほぞんpreservationされることは、

E A x = 0 ⟺ A x = 0

から分わかる。 $E$ が可逆かぎゃくinvertibleなので、 $E A x = 0$ なら左ひだりから $E^{- 1}$ を掛かけて $A x = 0$ に戻もどせる。

一方いっぽう、列空間れつくうかんcolumn spaceは同おなじ集合しゅうごうsetとしては一般いっぱんに保存ほぞんpreservationされない。 $E A$ の列れつcolumnは、 $A$ の列れつcolumnに同おなじ可逆変換かぎゃくへんかんinvertible transformation $E$ を適用てきようapplicationしたものであり、

Col (E A) = E (Col (A))

と変かわる。ただし $E$ は可逆かぎゃくinvertibleなので、列空間れつくうかんcolumn spaceの次元じげんdimension、つまり階数かいすうrankは変かわらない。

行列式ぎょうれつしきdeterminantへの影響えいきょうeffectは別べつのページで詳くわしく扱あつかう。

data/lecture/math/linear-algebra/行列式の計算規則-講義.n.md

階数かいすうrank・行空間ぎょうくうかんrow space・列空間れつくうかんcolumn spaceの関係かんけいは次つぎのページで確認かくにんする。

data/lecture/math/linear-algebra/階数の基本-講義.n.md

よくある誤解ごかい

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationと列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを混同こんどうしてはならない。連立方程式れんりつほうていしきsystem of equationsの解集合かいしゅうごうsolution setの保持ほじpreservationに使つかう標準操作ひょうじゅんそうさstandard operationは行ぎょうrowの操作そうさoperationである。
0 倍ばいscalar multipleは許ゆるされない。情報じょうほうを消去しょうきょし、逆操作ぎゃくそうさinverse operationが存在そんざいしないためである。
行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで行列式ぎょうれつしきdeterminantが常つねに不変ふへんinvariantだと考かんがえてはならない。
左ひだりから掛かけるか右みぎから掛かけるかを暗記あんきだけで処理しょりしてはならない。 $E A$ は行ぎょうrowの線型結合せんけいけつごうlinear combinationを作つくり、 $A F$ は列れつcolumnの線型結合せんけいけつごうlinear combinationを作つくる。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 行基本変形は解集合を保つ可逆操作である

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] A \mapsto E A

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 行の交換、非零倍、他行の定数倍の加算

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-algebra/基本変形と連立一次方程式-基本演習.n.md