連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsと拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrix

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsを、係数けいすうcoefficientだけを並ならべた行列ぎょうれつmatrixの問題もんだいへ変換へんかんすることである。

掃はき出だし法ほうGaussian eliminationは、方程式ほうていしきそのものではなく、係数けいすうcoefficientの並ならびを操作そうさoperationする方法ほうほうである。そのため、まず方程式ほうていしきと行列ぎょうれつmatrixの対応たいおうを固定こていする必要ひつようがある。

用語ようごと定義ていぎ

係数行列けいすうぎょうれつCoefficient matrix とは、連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの左辺さへんleft-hand sideの係数けいすうcoefficientを並ならべた行列ぎょうれつmatrixである。

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつAugmented matrix とは、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixに右辺うへんright-hand sideの列れつcolumnを加くわえた行列ぎょうれつmatrixである。

方針ほうしん

$$Ax=b$$Ax=b の形かたちを作つくることを目標もくひょうにする。$$A$$A は係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrix、$$x$$x は未知数みちすうunknownベクトル、$$b$$b は右辺うへんright-hand sideベクトルである。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

方程式ほうていしきの文字もじを毎回まいかい記述きじゅつすると、操作そうさoperationの本質ほんしつを把握はあくしにくい。実際じっさいに変化へんかするのは、未知数みちすうunknownの係数けいすうcoefficientと右辺うへんright-hand sideである。そこで、係数けいすうcoefficientだけを抽出ちゅうしゅつして表ひょうにする。

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixは、左辺さへんleft-hand sideの係数けいすうcoefficientと右辺うへんright-hand sideを同時どうじに追跡ついせきするための表記ひょうきである。

厳密げんみつな説明せつめい

連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equations

は

と書かける。つまり

である。拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixは

である。

具体例ぐたいれい

では、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixは

であり、拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixは

である。未知数みちすうunknownが 3 個こで方程式ほうていしきが 2 本ほんなので、$$A$$A は $$2\times 3$$2\times3 行列ぎょうれつmatrixになる。

よくある誤解ごかい

• 係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixに右辺うへんright-hand sideを含ふくめない。右辺うへんright-hand sideまで含ふくめたものが拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixである。
• 未知数みちすうunknownの順序じゅんじょを途中とちゅうで変更へんこうしてはならない。列れつcolumnの順序じゅんじょが未知数みちすうunknownの順序じゅんじょを表あらわす。
• 方程式ほうていしきの本数ほんすうと未知数みちすうunknownの個数こすうは同おなじとは限かぎらない。

どこまで成なり立たつか

この表記ひょうきは一次方程式いちじほうていしきに対たいして有効ゆうこうである。$$xy$$xy や $$x^2$$x^2 のような非線型ひせんけいnonlinearの項こうが含ふくまれる場合ばあい、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixだけで同おなじように表現ひょうげんすることはできない。

最終形さいしゅうけい

演習えんしゅうリンク

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