行列ぎょうれつmatrixの基本演算きほんえんざん

導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、行列ぎょうれつmatrixには行数ぎょうすうと列数れつすうがあり、演算えんざんはサイズ条件じょうけんを満みたすときだけ定義ていぎされるということである。

行列ぎょうれつmatrixをいきなり線型写像せんけいしゃぞうlinear mapとして解釈かいしゃくすると、初学者しょがくしゃは計算規則けいさんきそくで混乱こんらんしやすい。まず数かずを長方形ちょうほうけいに並ならべた対象たいしょうとして確認かくにんし、足たし算ざん・スカラー倍ばい・サイズ条件じょうけんを固定こていする。

用語ようごと定義ていぎ

行列ぎょうれつMatrix とは、数かずを行ぎょうrowと列れつcolumnに並ならべた対象たいしょうである。$$m$$m 行ぎょうrow $$n$$n 列れつcolumnの行列ぎょうれつmatrixを $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつmatrixという。

は $$3\times 2$$3\times2 行列ぎょうれつmatrixである。

行ぎょうベクトルRow vector は 1 行ぎょうrowの行列ぎょうれつmatrixであり、列れつベクトルColumn vector は 1 列れつcolumnの行列ぎょうれつmatrixである。

方針ほうしん

行列ぎょうれつmatrixの演算えんざんでは、まずサイズを確認かくにんする。和わと差さは同おなじサイズでだけ定義ていぎされ、スカラー倍ばいは任意にんいのサイズで定義ていぎされる。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

行列ぎょうれつmatrixの和わは、同おなじ位置いちにある成分せいぶんcomponentどうしを加くわえる操作そうさoperationである。座席表ざせきひょうの同おなじ席せきを対応たいおうさせるように、行番号ぎょうばんごうと列番号れつばんごうが一致いっちする成分せいぶんcomponentだけを組くみ合あわせる。

したがって、サイズが異ことなる行列ぎょうれつmatrixは同おなじ位置いちどうしの対応たいおうが成立せいりつしない。演算えんざんが定義ていぎされない理由りゆうはここにある。

厳密げんみつな説明せつめい

$$A=\left(a_{ij}\right)$$A=(a_{ij})、$$B=\left(b_{ij}\right)$$B=(b_{ij}) を同おなじ $$m\times n$$m\times n 行列ぎょうれつmatrixとする。このとき

で定義ていぎする。また

である。スカラー $$c$$c に対たいして

と定義ていぎする。行列ぎょうれつmatrixが等ひとしいとは、サイズが同一どういつで、すべての対応たいおうする成分せいぶんcomponentが等ひとしいことである。

具体例ぐたいれい

なら

である。一方いっぽう、$$2\times 2$$2\times2 行列ぎょうれつmatrixと $$2\times 3$$2\times3 行列ぎょうれつmatrixの和わは定義ていぎされない。

よくある誤解ごかい

• サイズが異ことなる行列ぎょうれつmatrixを成分せいぶんcomponentが似にているという理由りゆうで加算かさんしてはならない。
• 行ぎょうベクトルrow vectorと列れつベクトルcolumn vectorは成分数せいぶんすうが同一どういつであってもサイズが異ことなる。
• 正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixだけが行列ぎょうれつmatrixではない。長方行列ちょうほうぎょうれつも線型代数せんけいだいすうの主要対象しゅようたいしょうである。

どこまで成なり立たつか

和わとスカラー倍ばいは成分せいぶんcomponentごとの演算えんざんである。行列ぎょうれつmatrixの積せきは単たんなる成分せいぶんcomponentごとの積せきではないため、別べつに定義ていぎを確認かくにんする必要ひつようがある。

最終形さいしゅうけい

演習えんしゅうリンク

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