確認問題：線型性の判定
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 を
T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}x+y\\2x-y\end{pmatrix}
で定義する。この T が線型写像であることを、加法性と同次性を確認して示せよ。
解答例
○
u=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}、v=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} とする。まず加法性を確認する。
T(u+v)
=
T\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1+x_2+y_1+y_2\\
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)
\end{pmatrix}
一方、
T(u)+T(v)
=
\begin{pmatrix}x_1+y_1\\2x_1-y_1\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}x_2+y_2\\2x_2-y_2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1+x_2+y_1+y_2\\
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)
\end{pmatrix}
である。したがって T(u+v)=T(u)+T(v) である。
つぎにスカラー c について同次性を確認する。
T(cu)
=
T\begin{pmatrix}cx_1\\cy_1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}cx_1+cy_1\\2cx_1-cy_1\end{pmatrix}
=
c\begin{pmatrix}x_1+y_1\\2x_1-y_1\end{pmatrix}
=
cT(u)
よって T は線型写像である。
解説
この問題は、線型写像の定義そのものを確認している。加法性は「足してから写像で写す」と「写像で写してから足す」が一致すること、同次性は「スカラー倍してから写像で写す」と「写像で写してからスカラー倍する」が一致することである。
ここで重要なのは、いくつかの数値例で成り立つことを確かめるだけでは証明にならないという点である。任意の u,v,c について確認しているため、定義に戻った証明になっている。
問題 3
線型変換 T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 が
T(e_1)=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix},
\qquad
T(e_2)=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}
を満たすとする。T の標準基底に関する表現行列を求め、T\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} を求めよ。
解答例
○
表現行列は、T(e_1) と T(e_2) を列に並べた
A=
\begin{pmatrix}
1&-1\\
0&3\\
2&1
\end{pmatrix}
である。したがって、
T\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}
=
A\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}6\\-6\\6\end{pmatrix}
である。
解説
行列の列は、標準基底がどこへ移るかを記録している。\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=4e_1-2e_2 なので、線型性により T(4e_1-2e_2)=4T(e_1)-2T(e_2) である。この問題は、行列積を列の線型結合として読むことを確認している。
補充問題：行列の演算と転置
問題 6
2\times3 行列と 2\times3 行列の和が定義される理由を説明せよ。
○
行列の和は同じ位置の成分どうしを足すため、行数と列数が一致している必要がある。どちらも 2\times3 なので定義できる。
問題 7
A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&4\end{pmatrix} に対して -2A を計算せよ。
○
-2A=
\begin{pmatrix}
-2&0&-4\\
-6&2&-8
\end{pmatrix}
問題 8
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} と \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} のサイズを比較せよ。
○
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} は 1\times2 行列で、\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} は 2\times1 行列である。
問題 9
2\times3 行列と 3\times4 行列の積のサイズを答えよ。
○
内側のサイズ 3 が一致するので積は定義でき、サイズは 2\times4 である。
問題 10
A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}、x=(3,4)^T に対して Ax を計算せよ。
○
Ax=
\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}3\\10\end{pmatrix}
問題 11
行列積が可換でない例を 1 つ構成せよ。
○
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}、B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} とすると、
AB=
\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix},
\qquad
BA=
\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}
なので AB\ne BA である。
問題 12
A=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix} の A^T を求めよ。
○
A^T=
\begin{pmatrix}
0&2\\
1&3
\end{pmatrix}
問題 13
I_2A=A が成立するための A の行数を確認せよ。
○
I_2 は 2\times2 行列なので、I_2A が定義されるには A の行数が 2 である必要がある。
問題 14
(AB)^T=B^TA^T で順序が反転する理由を言語化せよ。
○
AB は「まず B、つぎに A」という合成を表す。転置すると行と列の役割が入れ替わるため、合成を戻して読む順序は B^TA^T になる。
問題 15
A が m\times n 行列のとき、\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T) となる理由を行空間と列空間の対応から説明せよ。
○
A の行空間は A^T の列空間に対応し、A の列空間は A^T の行空間に対応する。行階数と列階数は一致するので、\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T) である。
問題 16
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}
に行基本変形 R_2\leftarrow R_2+3R_1 を行って B を得る。このとき B^T は A^T にどの列基本変形を行ったものか答えよ。
○
B=
\begin{pmatrix}
1&2\\
6&10
\end{pmatrix}
なので
B^T=
\begin{pmatrix}
1&6\\
2&10
\end{pmatrix}
である。一方、
A^T=
\begin{pmatrix}
1&3\\
2&4
\end{pmatrix}
であり、A^T の第 2 列に第 1 列の 3 倍を加えると
\begin{pmatrix}
1&6\\
2&10
\end{pmatrix}
になる。したがって、対応する列基本変形は C_2\leftarrow C_2+3C_1 である。
この問題は、転置が行の操作を列の操作へ翻訳することを確認している。
問題 17
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},
\qquad
x=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
について、A(Bx) と (AB)x を計算し、同じ結果になることを確認せよ。
○
Bx=
\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}
なので
A(Bx)=
\begin{pmatrix}13\\14\end{pmatrix}
である。また
AB=
\begin{pmatrix}
3&1\\
2&2
\end{pmatrix}
だから
(AB)x=
\begin{pmatrix}13\\14\end{pmatrix}
である。
この問題は、行列積 AB が「まず B、つぎに A」という合成を表すことを確認する。
問題 18
A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1&3\\
2&4
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1&b_2
\end{bmatrix}
について、AB の列が Ab_1,Ab_2 であることを確認せよ。
○
AB=
\begin{pmatrix}
5&11\\
2&4
\end{pmatrix}
である。一方、
Ab_1=
\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix},
\qquad
Ab_2=
\begin{pmatrix}11\\4\end{pmatrix}
である。したがって
AB=
\begin{bmatrix}
Ab_1&Ab_2
\end{bmatrix}
である。
この問題は、行列積を成分計算だけでなく、「右の行列の各列を左の行列で写す」と読む練習である。