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連立一次方程式と掃き出し法md da526ed
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連立一次方程式と掃き出し法
mathlinear-algebraundergraduatelecture
導入
この講義で最重要なのは、掃き出し法は係数をただ消去する技巧ではなく、連立一次方程式を同値な形へ変換して、解の構造を明示する方法だということである。
連立一次方程式を解くとき、代入法や加減法だけに依存すると、式が多くなった段階で構造が不明瞭になる。掃き出し法は、この手順を体系的に整理したものである。
用語と定義
連立一次方程式 とは、未知数が 1 次で現れる方程式を複数まとめたものである。
行基本変形 とは、行の交換、定数倍、ある行に別の行の定数倍を加える操作である。
方針
まず拡大係数行列に変換する。そのあと、行基本変形で前から順番に主成分を確保し、下や上の成分を消去する。
直感的な説明
掃き出し法は、表の中で「この列の代表はここ」と設定し、その上下を消去する操作に相当する。これを左から右へ順番に進行すると、どの変数が自由で、どの変数が決定されるかを確認できる。
厳密な説明
1. 拡大係数行列
たとえば
\begin{cases}
x+y=2\\
2x-y=1
\end{cases}\begin{cases}
x+y=2\\
2x-y=1
\end{cases}
は
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 2\\
2 & -1 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 2\\
2 & -1 & 1
\end{array}
\right)
と表示できる。
2. 行基本変形
2 行目から 1 行目の 2 倍を引くと
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 2\\
0 & -3 & -3
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 2\\
0 & -3 & -3
\end{array}
\right)
である。ここから y=1、さらに x=1 と判定できる。
3. 何を判定できるか
掃き出した結果、矛盾する行が出現すれば解なし、自由変数が残れば無数の解が存在する。
最小例で 3 つの場合を並べると、見るべき場所が明確になる。
| 階段形の形 | 読み取ること | 解の型 |
|---|
| \left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&3\end{array}\right) | すべての未知数に pivot がある | 一意解 |
| \left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&1\end{array}\right) | 0=1 という矛盾行がある | 解なし |
| \left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&0\end{array}\right) | pivot のない列があり、自由変数が残る | 無数の解 |
一意解では、各未知数が pivot によって決定される。解なしでは、係数側がすべて 0 なのに右辺だけ 0 でない行が現れる。無数の解では、自由変数を任意に動かせるため、解集合に自由度が残る。
判定基準
- 未知数が複数あり、式の数も多いなら、掃き出し法を優先する。
- 解が一意か、解なしなのかを判定したいときも、掃き出し結果が有効である。
- 変形の途中で同値を保っていることを確認する。
- 解の型を判断するときは、矛盾行、pivot の個数、自由変数の有無を順に確認する。
最終形
\boxed{\text{連立一次方程式} \rightarrow \text{拡大係数行列} \rightarrow \text{掃き出し}}
一言でいうと
- 掃き出し法は、連立一次方程式を解く手順であると同時に、解の構造を確認する方法も兼ねる。