線型化せんけいかと固有値判定こゆうちはんていの入口いりぐち

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、非線型系ひせんけいけいの平衡点へいこうてんの近傍きんぼうで一次近似いちじきんじを抽出ちゅうしゅつし、得えられた線型系せんけいけいの固有値こゆうちから局所安定性きょくしょあんていせいを判定はんていすることである。

標準形ひょうじゅんけい

対象たいしょうは

である。平衡点へいこうてん $$x_{*}$$\boldsymbol{x}_* は $$\mathit{F}\left(x_{*}\right)=0$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}_*)=\boldsymbol{0} を満みたす点てんである。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

非線型系ひせんけいけいを厳密げんみつに解とくことは困難こんなんである。しかし平衡点へいこうてんの近傍きんぼうでは Taylor 展開てんかいの一次項いちじこうが支配的しはいてきになる。変数へんすう $$\mathit{u}=\mathit{x}-x_{*}$$\boldsymbol{u}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_* と置おくと、

である。ここで $$D\mathit{F}\left(x_{*}\right)$$D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}_*) は Jacobian 行列ぎょうれつである。

固有値判定こゆうちはんてい

Jacobian 行列ぎょうれつの固有値こゆうちの実部じつぶがすべて負ふなら、平衡点へいこうてんは局所漸近安定きょくしょぜんきんあんていである。実部じつぶが正せいの固有値こゆうちを含ふくむなら不安定ふあんていである。実部じつぶが 0 の固有値こゆうちを含ふくむ場合ばあいは、高次項こうじこうが本質ほんしつになるため線型化せんけいかだけでは判定はんていできない。

この判定はんていは、平衡点へいこうてんが双曲型そうきょくがたhyperbolicである場合ばあいに特とくに明瞭めいりょうである。双曲型そうきょくがたとは、Jacobian の固有値こゆうちが虚軸上きょじくじょうに存在そんざいしない場合ばあいを指さす。このとき非線型系ひせんけいけいの近傍挙動きんぼうきょどうは線型化せんけいかにより安定あんてい・不安定ふあんていの分類ぶんるいを受うける。

具体例ぐたいれい 1：Jacobian を実際じっさいに計算けいさんする

で平衡点へいこうてんを確認かくにんすると、$$(0,0),(1,0),(0,2)$$(0,0),(1,0),(0,2) が得えられる。右辺うへんを $$F_1=x(1-x-y),F_2=y(2-x-y)$$F_1=x(1-x-y),\ F_2=y(2-x-y) とおくと、Jacobian は

である。$$(1,0)$$(1,0) では

となり、固有値こゆうちは $$-1,1$$-1,1 である。正せいの固有値こゆうちを含ふくむため、$$(1,0)$$(1,0) は不安定ふあんていである。線型化せんけいかは、平衡点へいこうてんの近傍きんぼうで一方向いちほうこうには接近せっきんし、別方向べつほうこうには離脱りだつする構造こうぞうを抽出ちゅうしゅつしている。

具体例ぐたいれい 2：線型化せんけいかだけで判定不能はんていふのうな場合ばあい

では $$x=0$$x=0 が平衡点へいこうてんである。Jacobian に相当そうとうする導関数どうかんすうは $$2x$$2x であり、$$x=0$$x=0 では 0 となる。固有値こゆうちの実部じつぶが 0 であるため、線型化せんけいかは安定性あんていせいを判定はんていしない。

しかし元もとの方程式ほうていしきでは、$$x>0$$x>0 なら増加ぞうかし、$$x<0$$x<0 なら 0 に接近せっきんする。左右さゆうで挙動きょどうが異ことなるため、高次項こうじこうが本質ほんしつである。この例れいは、線型化せんけいかの適用範囲てきようはんいを判定はんていする必要ひつようを示しめす。

分類表ぶんるいひょう

どこまで成なり立たつか

線型化せんけいかは平衡点へいこうてんの近傍きんぼうでの局所理論きょくしょりろんである。遠方えんぽうの挙動きょどう、周期軌道しゅうききどう、大域安定性たいいきあんていせいは別べつの解析かいせきを必要ひつようとする。

また、線型化せんけいかが有効ゆうこうであることは、非線型項ひせんけいこうを無視むししてよいことを無条件むじょうけんに意味いみしない。双曲型そうきょくがたでない平衡点へいこうてんでは、中心多様体ちゅうしんたようたいや Lyapunov 関数かんすうなど、別べつの道具どうぐが必要ひつようになる。

演習えんしゅうリンク

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