べき級数解法きゅうすうかいほうと Frobenius 法ほう

date2026-05-26descriptionべき級数解法と Frobenius 法を、変数係数方程式を局所展開で扱う標準手段として整理する。prerequisitesEuler-Cauchy型と高階方程式 / テイラー展開とマクローリン展開type講義statusactive

mathdifferential-equationspower-serieslecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、変数係数へんすうけいすうの線型方程式せんけいほうていしきで特性方程式とくせいほうていしきが使つかえない場合ばあいに、解かいを局所級数きょくしょきゅうすうとして構成こうせいすることである。

べき級数解法きゅうすうかいほう

通常点つうじょうてんの近傍きんぼうでは

y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

と仮定かていする。導関数どうかんすうは

y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}, y^{'}' = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}

である。これを方程式ほうていしきへ代入だいにゅうし、同おなじ冪べきの係数けいすうを比較ひかくして $a_{n}$ の漸化式ぜんかしきを得える。

通常点つうじょうてんとは、標準形ひょうじゅんけい $y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0$ にしたとき、 $P, Q$ がその点てんの近傍きんぼうで解析的かいせきてきである点てんを指さす。この条件じょうけんがあるため、解かいもべき級数きゅうすうとして構成こうせいできると期待きたいする。級数きゅうすうを仮定かていする理由りゆうは、微分びぶんと係数比較けいすうひかくにより、未知関数みちかんすうを無限個むげんこの係数けいすうの決定問題けっていもんだいへ変換へんかんできるためである。

Frobenius 法ほう

Frobenius 法ほうFrobenius method は、正則特異点せいそくとくいてんの近傍きんぼうで

y = x^{r} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

を仮定かていする方法ほうほうである。 $r$ は指数方程式しすうほうていしきから決定けっていされる。通常つうじょうのべき級数きゅうすうでは不足ふそくする冪べきのずれを、 $x^{r}$ が吸収きゅうしゅうする。

正則特異点せいそくとくいてんでは、係数けいすうそのものは特異とくいでも、 $x P (x)$ や $x^{2} Q (x)$ が解析的かいせきてきである。この場合ばあい、解かいは通常つうじょうのべき級数きゅうすうではなく、先頭せんとうに $x^{r}$ を持もつ級数きゅうすうとして表現ひょうげんされることが自然しぜんである。Euler-Cauchy 型がたはこの構造こうぞうの最小例さいしょうれいである。

具体例ぐたいれい

y^{'}' + x y = 0

に $y = \sum a_{n} x^{n}$ を代入だいにゅうすると、

\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n - 1} x^{n} = 0

となる。係数比較けいすうひかくから $a_{2} = 0$ 、および $n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1$ で

(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + a_{n - 1} = 0

を得える。初期係数しょきけいすう $a_{0}, a_{1}$ から解かいが局所的きょくしょてきに構成こうせいされる。

この漸化式ぜんかしきは、 $a_{0}$ と $a_{1}$ を自由じゆうに設定せっていすると、その後あとの係数けいすうが順次じゅんじに決定けっていされることを示しめす。二階線型にかいせんけいの解空間かいくうかんが 2 次元じげんであることが、級数係数きゅうすうけいすうの自由度じゆうどとして現あらわれている。

Frobenius 法ほうの最小例さいしょうれい

x^{2} y^{'}' - x y^{'} + y = 0

は $x = 0$ に特異点とくいてんを持もつ。 $y = x^{r}$ と置おくと

r (r - 1) - r + 1 = (r - 1)^{2} = 0

であり、重根じゅうこん $r = 1$ を得える。この場合ばあい、 $x$ と $x \log x$ が基本解きほんかいになる。Frobenius 法ほうでは、指数方程式しすうほうていしきの根こんの差さや重複ちょうふくにより、対数項たいすうこうが必要ひつようになる場合ばあいがある。

どこまで成なり立たつか

級数解きゅうすうかいは形式的けいしきてきな係数決定けいすうけっていだけでは完了かんりょうしない。収束半径しゅうそくはんけい、特異点とくいてん、初期条件しょきじょうけんとの整合性せいごうせいを確認かくにんする必要ひつようがある。

不規則特異点ふきそくとくいてんでは、Frobenius 法ほうが直接ちょくせつ適用てきようできない場合ばあいがある。また、級数解きゅうすうかいが得えられても、閉とじた初等関数しょとうかんすうとして表現ひょうげんできるとは限かぎらない。級数解法きゅうすうかいほうの目的もくてきは、初等関数しょとうかんすうへ戻もどすことではなく、局所的きょくしょてきに制御せいぎょされた解かいを構成こうせいすることである。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/微分方程式の入口と直接積分-基本演習.n.md