微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationの入口いりぐちと直接積分ちょくせつせきぶんdirect integration-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26description微分方程式の最初の読み取りと直接積分を、解の意味、任意定数、初期条件の順に確認する基本演習。prerequisites微分方程式の入口 / 積分法の基本type問題演習statusactive

mathdifferential-equationsexercisedirect-integration

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演習えんしゅうの方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationを「未知関数みちかんすうunknown functionとその導関数どうかんすうderivativeを関係かんけいづける式しき」として読よむ。計算けいさんだけでなく、どの量りょうが未知関数みちかんすうunknown functionで、どの条件じょうけんが初期条件しょきじょうけんinitial conditionなのかを先さきに確認かくにんする。

問題もんだい 1

次つぎの微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationを解とけ。

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 2 x + 1

解答例かいとうれい

○

y = x^{3} - x^{2} + x + C

解説かいせつ

右辺うへんが $x$ だけの関数かんすうなので、これは直接積分ちょくせつせきぶんdirect integrationで扱あつかえる。両辺りょうへんを $x$ で積分せきぶんすると、導関数どうかんすうderivativeを元もとに戻もどす操作そうさになる。

問題もんだい 2

初期条件しょきじょうけん $y (0) = 2$ を満みたす解かいを求もとめよ。

y^{'} = \cos x

解答例かいとうれい

○

y = \sin x + 2

解説かいせつ

まず一般解いっぱんかいgeneral solutionは $y = \sin x + C$ である。初期条件しょきじょうけんを代入だいにゅうすると $2 = 0 + C$ なので $C = 2$ である。任意定数にんいていすうarbitrary constantは、初期条件しょきじょうけんinitial conditionを入いれた時点じてんで具体値ぐたいちに決きまる。

問題もんだい 3

次つぎの式しきが本当ほんとうに解かいであるか、微分びぶんして確認かくにんせよ。

y = C e^{- 2 x} + 5, y^{'} = - 2 (y - 5)

解答例かいとうれい

○

y^{'} = - 2 C e^{- 2 x}, - 2 (y - 5) = - 2 C e^{- 2 x}

したがって解かいである。

解説かいせつ

微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationでは、候補こうほを得えたあとに代入確認だいにゅうかくにんを行おこなうことが重要じゅうようである。式変形しきへんけいの途中とちゅうで条件じょうけんを失うしなっていないかを確たしかめられる。

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