厳密な説明
1. 係数の決まり方
多項式 P_n(x) = \sum_{k=0}^n c_k (x-a)^k を f に合わせたいとする。x = a で P_n^{(j)}(a) = f^{(j)}(a)（j = 0, 1, \ldots, n）を要求すると：
P_n^{(j)}(x) = j! \cdot c_j + (\text{次数 \ge 1 の項})
なので x = a を代入して j! \cdot c_j = f^{(j)}(a)、したがって
c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}
この c_j の決め方は一意であり、「a での局所的な微分情報から係数が完全に定まる」ことを示している。
2. ラグランジュ剰余項
f が n+1 回微分可能なとき、a と x の間のある \xi が存在して：
f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{R_n(x)}
使い方：R_n(x) の大きさを評価するには |f^{(n+1)}| の最大値で上から抑える。例えば e^x の x \in [0,1] での n 次近似の誤差は e/({(n+1)!}) \le 3/(n+1)!。
3. 主要なマクローリン展開
| 関数 | 展開 | 収束半径 |
|---|
| e^x | \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!} | \infty |
| \sin x | \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} | \infty |
| \cos x | \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} | \infty |
| \ln(1+x) | \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1} x^k}{k} | 1（-1 < x \le 1） |
| \dfrac{1}{1-x} | \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} x^k | 1（\lvert x\rvert < 1） |
| (1+x)^\alpha | \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k | 1（\lvert x\rvert < 1） |
収束半径はダランベール比判定法 R = \lim_{k\to\infty} |a_k/a_{k+1}| で求まる。
4. 応用：極限の計算
テイラー展開は \lim の「0/0 型」を処理する強力な道具である。
例 1：\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}
\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^5) より \sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + O(x^5)、したがって極限は -1/6。
例 2：\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}
e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + O(x^3) より分子は \dfrac{x^2}{2} + O(x^3)、極限は 1/2。
5. 解析的関数と滑らかな関数
C^\infty（無限回微分可能）であっても、テイラー展開が元の関数と一致しない例が存在する：
f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}
この関数は f^{(k)}(0) = 0 すべての k に対して成立するため、テイラー展開は恒等的に 0 だが f \not\equiv 0。全ての点でテイラー展開が収束して一致する関数を解析的という。
最終形
\boxed{f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}
\boxed{f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \quad (\text{ラグランジュ[剰余項/じょうよこう]})}
\boxed{e^x = \sum \frac{x^k}{k!},\quad \sin x = \sum \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad \ln(1+x) = \sum \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}}