Euler-Cauchy 型がたと高階方程式こうかいほうていしき

date2026-05-26descriptionEuler-Cauchy 型方程式と高階線型定数係数方程式を、試行解の選択理由と根の重複から整理する。prerequisites二階線型微分方程式の拡張type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、高階線型定数係数こうかいせんけいていすうけいすうでは $e^{r x}$ 、Euler-Cauchy 型がたでは $x^{r}$ を試行解しこうかいとして選択せんたくする理由りゆうを確認かくにんすることである。

高階定数係数こうかいていすうけいすう

a_{n} y^{(n)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0

では $y = e^{r x}$ を仮定かていする。微分びぶんしても $e^{r x}$ が共通因子きょうつういんしとして残のこるため、

a_{n} r^{n} + \dots + a_{1} r + a_{0} = 0

を得える。根こん $r$ の重複度ちょうふくどが $m$ なら、

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{m - 1} e^{r x}

が対応たいおうする。

Euler-Cauchy 型がた

Euler-Cauchy 方程式ほうていしきEuler-Cauchy equation は

x^{2} y^{'}' + a x y^{'} + b y = 0

のように、微分階数びぶんかいすうに対応たいおうして $x$ の冪べきが掛かかる方程式ほうていしきである。 $y = x^{r}$ と置おくと、 $x y^{'} = r x^{r}$ 、 $x^{2} y^{'}' = r (r - 1) x^{r}$ となり、共通因子きょうつういんし $x^{r}$ が残のこる。したがって $r$ の代数方程式だいすうほうていしきへ還元かんげんできる。

この方針ほうしんを選択せんたくする別べつの理由りゆうは、 $x = e^{s}$ という変数変換へんすうへんかんで確認かくにんできる。 $D_{s} = d / d s$ とすると、 $x y^{'} = D_{s} y$ 、 $x^{2} y^{'}' = D_{s} (D_{s} - 1) y$ である。したがって Euler-Cauchy 型がたは、対数変数たいすうへんすう $s = \log x$ では定数係数方程式ていすうけいすうほうていしきへ近ちかい形かたちになる。 $x^{r} = e^{r s}$ が自然しぜんな試行解しこうかいになる理由りゆうはここにある。

具体例ぐたいれい

x^{2} y^{'}' + x y^{'} - y = 0

で $y = x^{r}$ とおくと

r (r - 1) + r - 1 = r^{2} - 1 = 0

である。したがって $r = \pm 1$ であり、 $y = C_{1} x + C_{2} x^{- 1}$ を得える。

重根じゅうこんと対数因子たいすういんし

Euler-Cauchy 型がたでも、指数方程式しすうほうていしきが重根じゅうこんを持もつ場合ばあいには独立どくりつな 2 解かいが不足ふそくする。この場合ばあい、定数係数ていすうけいすうで $x e^{r x}$ が現あらわれるのに対応たいおうして、Euler-Cauchy 型がたでは $x^{r} \log x$ が現あらわれる。

たとえば

x^{2} y^{'}' - x y^{'} + y = 0

では $y = x^{r}$ を代入だいにゅうして

r (r - 1) - r + 1 = (r - 1)^{2} = 0

を得える。したがって

y = C_{1} x + C_{2} x \log x

である。 $\log x$ が出現しゅつげんする理由りゆうは、対数変数たいすうへんすう $s = \log x$ で重根解じゅうこんかい $e^{s}, s e^{s}$ が生しょうじ、それを $x$ の変数へんすうへ戻もどすと $x, x \log x$ になるためである。

高階方程式こうかいほうていしきとの対応たいおう

高階定数係数こうかいていすうけいすうでは、特性多項式とくせいたこうしきの根こんが解かいの基本成分きほんせいぶんを決定けっていする。相異そういなる根こんは指数関数しすうかんすうを与あたえ、重複根ちょうふくこんは多項式因子たこうしきいんしを伴ともなう。この構造こうぞうは、解空間かいくうかんの次元じげんが階数かいすうと一致いっちしなければならないという線型理論せんけいりろんの要請ようせいに由来ゆらいする。

どこまで成なり立たつか

Euler-Cauchy 型がたは $x = 0$ に特異点とくいてんを持もつ。したがって解かいを扱あつかう区間くかんが $x > 0$ か $x < 0$ かを明示めいじする必要ひつようがある。さらに一般いっぱんの変数係数方程式へんすうけいすうほうていしきがすべて Euler-Cauchy 型がたへ還元かんげんできるわけではない。

また、 $x = 0$ を跨またぐ区間くかんで同一どういつの表示ひょうじを無条件むじょうけんに使用しようしてはならない。 $x^{r}$ や $\log x$ の扱あつかいは区間くかんと実数じっすう・複素数ふくそすうの設定せっていに依存いぞんする。Euler-Cauchy 型がたは特異点近傍とくいてんきんぼうの解析かいせきへ接続せつぞくするため、Frobenius 法ほうへの入口いりぐちとしても重要じゅうようである。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/存在一意性と数値解法-基本演習.n.md